Восстановление пропущенной десятичной цифры с близкими значениями величин — тематические карточки для 5 класса

«Если два десятичных числа различаются только на несколько тысячных, их можно считать одинаковыми при сравнении». В этом утверждении есть ошибка: близость не означает равенство. При восстановлении пропущенной цифры достаточно одного точного сравнения по разрядам, но иногда требуется проверить оба края интервала.

Почему способ сравнения работает

Сравнивая два положительных числа, сначала смотрят на целую часть, затем на десятые, сотые, тысячные. При необходимости справа приписывают нули: 3,5 = 3,500. Первый разряд, в котором цифры отличаются, определяет, какое число больше. Если неизвестна одна цифра □, её допустимо заменить только целым числом от 0 до 9, не меняя другие разряды. Отсюда легко получить неравенство для цифры.

Например, 3,457 < 3,4□7 < 3,477 превращается в вопрос, какие сотые лежат между 5 и 7 при фиксированной цифре тысячных 7. Получится 3,467, поэтому □ = 6. Числа 3,457 и 3,477 отличаются всего на две сотых, однако соответствующие границы включать нельзя. Это и есть доказательство единственности найденной цифры.

Особые случаи: равенство и округление

Если написано «больше или равно», граничное число может быть ответом. Для строгого «больше» — нет. В задаче с округлением к сравнению добавляют интервалы: например, неотрицательное число, округляющееся до 6,17 с точностью до сотых, должно лежать от 6,165 включительно до 6,175 не включительно. Поэтому значение 6,165 удовлетворяет условию, хотя оно меньше 6,17.

Важно и противоположное: если нет ни одной подходящей цифры, это тоже корректное решение, которое следует доказать. Если подходят две цифры, нельзя выбирать одну только потому, что она «ближе к середине». Следующие карточки специально включают ситуации с единственным ответом, несколькими ответами и пустым набором.

Карточки для самостоятельного обоснования

Для каждой записи укажите все допустимые цифры □, а затем объясните, почему других вариантов нет. Если цифр несколько — перечислите все; если их нет — напишите «нет решений». Подчёркивайте разряд, который позволяет сделать вывод.

1. № 1. 3,457 < 3,4□7 < 3,477. Докажите ответ.
2. № 2. 7,204 < 7,□04 < 7,404. Докажите ответ.
3. № 3. 0,296 < 0,□96 < 0,407. Докажите ответ.
4. № 4. 6,1□5 округляется до сотых как 6,17. Докажите ответ.
5. № 5. 9,004 < 9,00□ < 9,006. Докажите ответ.
6. № 6. 4,509 ≤ 4,□09 < 4,709. Докажите ответ.
7. № 7. 12,406 < 12,□06 < 12,606. Докажите ответ.
8. № 8. 0,051 < 0,0□1 ≤ 0,071. Докажите ответ.
9. № 9. 8,□95 округляется до целых как 9 и не превосходит 8,695. Докажите ответ.
10. № 10. 5,279 < 5,2□9 < 5,299. Докажите ответ.
11. № 11. 6,902 ≤ 6,90□ < 6,904. Докажите ответ.
12. № 12. 2,447 < 2,4□7 < 2,457. Докажите ответ.

Доказательства и решения

1. № 1: 6. Строгие границы оставляют только 3,467; 3,457 и 3,477 исключены. Проверка: 3,467.
2. № 2: 3. Цифра десятых должна быть больше 2 и меньше 4. Проверка: 7,304.
3. № 3: 3. Из целых десятых подходит 3; 0,496 уже превышает 0,407. Проверка: 0,396.
4. № 4: 6. При тысячных 5 сотые увеличиваются на единицу. Проверка: 6,165.
5. № 5: 5. В пределах одной тысячной между 4 и 6 есть лишь 5. Проверка: 9,005.
6. № 6: 5, 6. Левый конец разрешает цифру 5, а цифра 7 исключается правой границей. Проверка: 4,509, 4,609.
7. № 7: 5. Строго между 4 и 6 десятыми только цифра 5. Проверка: 12,506.
8. № 8: 6, 7. Слева строго, справа нестрого: 0,061 и 0,071 подходят. Проверка: 0,061, 0,071.
9. № 9: 5, 6. Цифры десятых 5 и 6 дают 9 при округлении и не превышают 8,695. Проверка: 8,595, 8,695.
10. № 10: 8. Между 5,279 и 5,299 по сотым подходит цифра 8. Проверка: 5,289.
11. № 11: 2, 3. Левый край разрешает 2, а число с цифрой 4 уже не подходит. Проверка: 6,902, 6,903.
12. № 12: нет решений. Между соседними значениями сотых нет ни одной допустимой цифры: 2,447 и 2,457 — границы и обе исключены. Ни один из десяти кандидатов не удовлетворяет обоим строгим неравенствам.

Как доказать полноту ответа

Ответ «□ = 6» сам по себе не доказывает, что нет другой цифры. Для единственного решения достаточно показать, что предыдущая цифра слишком мала, а следующая слишком велика, если значение числа монотонно возрастает с увеличением □. Например, число 5,2□9 строго увеличивается с каждой следующей цифрой сотых. По этой причине достаточно проверить соседние варианты, не выписывая все десять чисел.

Для нестрогих границ обязателен отдельный шаг. В задаче 8 число 0,071 подходит, потому что стоит знак ≤, а 0,051 не подходит из-за знака <. Если перепутать их местами, ответ превратится в одну цифру или получит лишний вариант. В задаче 11 правильный набор точно определяется тем, что 6,902 разрешено, а 6,904 не разрешено.

В задаче 9 восстанавливается цифра десятых, но дополнительное условие относится к округлению до целого. Все числа 8,595 и 8,695 при округлении становятся 9, поскольку их десятые не меньше 5. При этом 8,795 больше верхней границы. Поэтому два подходящих значения — закономерный результат, а не недостаток условия.

В задаче 12 границы оказываются соседними возможными значениями неизвестной цифры: 2,447 и 2,457. Других чисел вида 2,4□7 между ними не существует. При строгих знаках крайние кандидаты также исключены. Это наглядный пример задачи без решений; не нужно искусственно придумывать цифру или заменять строгий знак нестрогим.

Два коротких письменных доказательства

Для задания 6 удобно рассуждать от границ. Запись 4,□09 не меньше 4,509, значит, цифра десятых не может быть меньше 5. Запись строго меньше 4,709, значит, эта цифра не может быть 7 или больше. Из целых цифр остаются 5 и 6. Подстановка подтверждает: 4,509 и 4,609 подходят, а 4,709 исключено. Так обосновываются и необходимость, и достаточность найденного набора.

Для задания 4 доказательство иное, поскольку присутствует округление. Чтобы после округления до сотых получить 6,17, исходное число должно быть не меньше 6,165 и меньше 6,175. Все кандидаты вида 6,1□5 расположены через одну сотую: 6,155, 6,165, 6,175 и так далее. Лишь 6,165 принадлежит нужному полуинтервалу. Поэтому единственная цифра — 6. Простое сравнение числа 6,165 с 6,17 без учёта округления было бы неверным способом.

Самопроверка логики рассуждения

Составьте для задачи 10 короткую цепочку: если □ меньше 8, то получится 5,279 либо число ещё меньше, что не превосходит строгую нижнюю границу. Если □ больше 8, то получится не меньше 5,299, а это нарушает строгую верхнюю границу. Цифра 8 даёт число 5,289, которое действительно находится между двумя пределами. Получено доказательство единственности без полного перебора всех десяти цифр.

Обратите внимание на число знаков после запятой: в записи 4,509 и 4,□09 три разряда, а при сравнении 12,406 и 12,□06 неизвестная цифра относится к десятым, а не к сотым. Пометку разряда можно делать прямо над квадратиком: «д», «с», «т» для десятых, сотых и тысячных. Если сравнение на первых разрядах даёт равенство, переходите к следующему разряду. Эта последовательность гарантирует правильный вывод и для близких величин.

Проверьте вывод каждого задания двумя способами: подставьте найденную цифру и сравните полные числа, затем рассуждайте по старшему различающемуся разряду. Совпадение этих двух подходов и объяснение исключённых границ — достаточное обоснование для письменной работы в 5 классе.