Восстановление размера выборки при неравных частотах событий: упражнения разной сложности, 7 класс

7 класс · Частоты и вероятности · MATH-1389. Маршрут тренировки: сначала восстанавливаем общий размер по доле одного частого или редкого исхода, затем по отношению разных частот и наконец по точным процентам. Везде частоты событий различаются, поэтому нельзя делить итог пополам или считать все исходы равновероятными.

Лёгкий старт — когда известна доля одного исхода

Если число наступлений А равно k и это точная доля p от всех n испытаний, то n=k/p. Другие абсолютные частоты вычисляйте из условия, что исходы А, Б, В исчерпывают результаты. После каждого ответа найдите пропущенное число и проверьте сумму.

1. По исходу А записано 20 наблюдений, его доля 1/3. Исход Б появился 15 раз, В — неизвестно. Найдите общий размер и абсолютную частоту В.
2. По исходу А записано 30 наблюдений, его доля 3/8. Исход Б появился 18 раз, В — неизвестно. Найдите общий размер и абсолютную частоту В.
3. По исходу А записано 36 наблюдений, его доля 2/5. Исход Б появился 31 раз, В — неизвестно. Найдите общий размер и абсолютную частоту В.
4. По исходу А записано 25 наблюдений, его доля 1/4. Исход Б появился 40 раз, В — неизвестно. Найдите общий размер и абсолютную частоту В.
5. По исходу А записано 36 наблюдений, его доля 3/10. Исход Б появился 27 раз, В — неизвестно. Найдите общий размер и абсолютную частоту В.
6. По исходу А записано 60 наблюдений, его доля 2/5. Исход Б появился 43 раз, В — неизвестно. Найдите общий размер и абсолютную частоту В.

Развилка «верно или ошибка» — отношение частот

Отношение А:Б = a:b означает, что А=a·t и Б=b·t для одного и того же положительного целого t. Если известна А, сначала найдите t и Б, затем сложите А, Б и В. Ученик ошибочно умножает А на b без деления на a: проверьте его вывод.

7. А:Б=2:3, А=12, В=8. Ученик утверждает, что Б=12·3=36. Верно ли это? Найдите Б и весь объём выборки.
8. А:Б=3:5, А=15, В=11. Ученик утверждает, что Б=15·5=75. Верно ли это? Найдите Б и весь объём выборки.
9. А:Б=4:7, А=16, В=13. Ученик утверждает, что Б=16·7=112. Верно ли это? Найдите Б и весь объём выборки.
10. А:Б=5:3, А=35, В=18. Ученик утверждает, что Б=35·3=105. Верно ли это? Найдите Б и весь объём выборки.
11. А:Б=3:4, А=24, В=16. Ученик утверждает, что Б=24·4=96. Верно ли это? Найдите Б и весь объём выборки.
12. А:Б=5:8, А=15, В=14. Ученик утверждает, что Б=15·8=120. Верно ли это? Найдите Б и весь объём выборки.

Следующая ступень — два неравных процента

Две указанные доли суммарно дают долю соответствующих категорий, но размер выборки определяется через абсолютное число хотя бы одной категории. Проценты считаются точными. Убедитесь, что третья относительная частота неотрицательна и что абсолютные частоты целочисленны.

13. Категория А встречалась 24 раз, что составляет 30% всех испытаний. На категорию Б приходится 20%. Найдите n, частоты Б и В и проверьте, что частоты событий не одинаковы.
14. Категория А встречалась 20 раз, что составляет 20% всех испытаний. На категорию Б приходится 50%. Найдите n, частоты Б и В и проверьте, что частоты событий не одинаковы.
15. Категория А встречалась 12 раз, что составляет 10% всех испытаний. На категорию Б приходится 40%. Найдите n, частоты Б и В и проверьте, что частоты событий не одинаковы.
16. Категория А встречалась 60 раз, что составляет 75/2% всех испытаний. На категорию Б приходится 25/2%. Найдите n, частоты Б и В и проверьте, что частоты событий не одинаковы.
17. Категория А встречалась 40 раз, что составляет 20% всех испытаний. На категорию Б приходится 35%. Найдите n, частоты Б и В и проверьте, что частоты событий не одинаковы.
18. Категория А встречалась 72 раз, что составляет 30% всех испытаний. На категорию Б приходится 20%. Найдите n, частоты Б и В и проверьте, что частоты событий не одинаковы.

Ответы и диагностика

Лёгкий старт

1. n=20:1/3=60; В=60−20−15=25. Проверка: 20+15+25=60.
2. n=30:3/8=80; В=80−30−18=32. Проверка: 30+18+32=80.
3. n=36:2/5=90; В=90−36−31=23. Проверка: 36+31+23=90.
4. n=25:1/4=100; В=100−25−40=35. Проверка: 25+40+35=100.
5. n=36:3/10=120; В=120−36−27=57. Проверка: 36+27+57=120.
6. n=60:2/5=150; В=150−60−43=47. Проверка: 60+43+47=150.

Ошибка или верно

7. Неверно: общий множитель 12:2=6; Б=3·6=18. Всего 12+18+8=38, а не число из ошибочного расчёта.
8. Неверно: общий множитель 15:3=5; Б=5·5=25. Всего 15+25+11=51, а не число из ошибочного расчёта.
9. Неверно: общий множитель 16:4=4; Б=7·4=28. Всего 16+28+13=57, а не число из ошибочного расчёта.
10. Неверно: общий множитель 35:5=7; Б=3·7=21. Всего 35+21+18=74, а не число из ошибочного расчёта.
11. Неверно: общий множитель 24:3=8; Б=4·8=32. Всего 24+32+16=72, а не число из ошибочного расчёта.
12. Неверно: общий множитель 15:5=3; Б=8·3=24. Всего 15+24+14=53, а не число из ошибочного расчёта.

Точные проценты

13. n=24:3/10=80; Б=80·1/5=16; В=80−24−16=40. Доли: 30%+20%+50%=100%.
14. n=20:1/5=100; Б=100·1/2=50; В=100−20−50=30. Доли: 20%+50%+30%=100%.
15. n=12:1/10=120; Б=120·2/5=48; В=120−12−48=60. Доли: 10%+40%+50%=100%.
16. n=60:3/8=160; Б=160·1/8=20; В=160−60−20=80. Доли: 75/2%+25/2%+50%=100%.
17. n=40:1/5=200; Б=200·7/20=70; В=200−40−70=90. Доли: 20%+35%+45%=100%.
18. n=72:3/10=240; Б=240·1/5=48; В=240−72−48=120. Доли: 30%+20%+50%=100%.

Итоговая проверка и рекомендации

Оцените не только полученное n, но и правдоподобие результата: общий размер обязан быть целым положительным числом, а число случаев каждой категории — целым от 0 до n. Если по указанной как точной доле получается дробный объём, нужно перепроверить условие или признать его противоречивым. Не следует округлять дробный результат наугад: округлённые проценты не дают той же точности, что точные доли.

Если ошибаетесь в заданиях 1–6, повторите переход k/n=p → n=k/p. Если ошибаетесь в заданиях 7–12, выписывайте отношение как a·t:b·t, а не перемножайте коэффициенты без проверки. Если ошибки обнаруживаются в последних заданиях, переводите каждый процент в дробь от целого и сверяйте сумму всех исходов с 100%.

Отдельный контроль: в записи «А встретилось 20 раз, Б 30 раз» нет сведений об общей выборке, если существуют другие возможные исходы. Объём определяется только когда заданы все несовместимые исходы либо дополнительная доля от общего числа. Умение распознать недостающие данные не менее важно, чем быстро выполнить деление.

Разобранный случай: известна доля одного из трёх событий

На школьном опросе событие А отмечали 24 раза, и это 30% всех наблюдений. Событие Б встретилось 32 раза, а В — в остальных случаях. Сначала восстанавливаем n: 24:0,30=80. Затем находим В=80−24−32=24. Хотя А и В встречались одинаково часто, остальные частоты различаются и выборка не обязана делиться на три равные части. Проверка: 24/80=30%, 32/80=40%, 24/80=30%, сумма 100%.

Задача становится другой, если условия говорят лишь, что число появлений А относится к числу Б как 3:4, а про В ничего не известно. По одному отношению нельзя восстановить общее количество испытаний: можно выбрать А=3, Б=4 и В=1 или А=30, Б=40 и В=100. Для единственного n потребуется ещё хотя бы одно абсолютное значение или достаточная дополнительная информация. Именно это объясняет различие между второй и третьей ступенями маршрута.

Во время самостоятельной работы используйте две строки черновика: «Дано: абсолютные частоты и точные доли» и «Проверка: сумма всех исходов и соответствие известной доле». Такой порядок уменьшает риск принять отношение двух категорий за долю от общего количества наблюдений. В заданиях с ответом на вопрос «верно ли решение ученика?» оценивать нужно и исправленную цепочку вычислений.