Восстановление угла по нескольким условиям при дополнительном угле — рабочий лист для 7 класса

Класс: 7. Цель: восстанавливать углы по условиям о смежности, параллельных прямых и секущей. Формат: задания для работы на уроке, самостоятельной проверки и печати.

Маршрут: от смежных углов до условий с переменными

На прямой два смежных угла образуют развёрнутый угол: их сумма 180°. В этом листе под «дополнительным углом» понимается именно угол, дополняющий данный до 180°, а не дополнение до 90°. Если секущая пересекает параллельные прямые, соответствующие и накрест лежащие углы равны, а внутренние односторонние в сумме дают 180°.

Шаг 1. Четыре коротких вычисления

1. Смежный угол к 47°: чему равен его дополнительный до 180° угол?
2. При пересечении секущей параллельных прямых острый угол 63°. Найдите смежный с ним тупой угол.
3. Тупой угол при секущей равен 142°. Найдите острый угол, дополняющий его до развёрнутого.
4. Угол 88°; найдите смежный с ним. Можно ли назвать второй угол острым?

Развилка: верно или ошибка?

Ученик считает, что при параллельных прямых все образованные секущей углы равны. Это неверно: равными бывают отдельные пары, а соседние, как правило, дополняют друг друга до 180°. Исключение — перпендикулярная секущая, когда все такие углы прямые. Задания 5–9 помогают распознать ошибку и составить собственное уравнение.

1. Угол при верхней прямой 39°. Сколько градусов имеет внутренний односторонний с ним угол при нижней параллельной?
2. Один из двух смежных углов на 36° больше другого. Найдите оба.
3. Тупой угол в 2 раза больше смежного острого. Найдите их.
4. Угол α и дополнительный к нему β удовлетворяют β = α + 24°. Определите α и β.
5. Угол α острый, β — смежный; β = 3α. Найдите β.

Шаг 2. Уравнения и параллельные прямые

В каждом задании назовите использованное свойство прежде, чем решать уравнение. Если величина измеряется в градусах, знак градуса ставьте в окончательном ответе.

1. При параллельных прямых равны соответствующие углы; один равен 74°. Найдите угол, смежный со вторым.
2. Даны ∠1 = 2x + 10° и смежный ∠2 = 3x − 5°. Найдите x и оба угла.
3. Внутренние односторонние углы имеют значения 4x+6° и 2x+24°. Найдите меньший.
4. Смежные углы при секущей отличаются на 58°. Найдите острый.
5. Угол с секущей равен 126°. Через параллельность найдите накрест лежащий, затем смежный с ним.

Шаг 3. Неочевидные данные и итоговая проверка

1. Известно, что смежный угол на 20° меньше удвоенного исходного: β = 2α − 20°. Найдите исходный.
2. Дополнительные углы относятся как 4:5. Найдите каждый и укажите, какой из них смежен с углом 80°.
3. Угол между секущей и параллельной прямой 35°. Сколько составляет сумма двух смежных тупых углов при двух пересечениях?
4. Смежные углы α и β: α + β = 180°, α = β. Найдите их и объясните положение секущей.

Ключ и пошаговые исправления

Нумерация внутри каждого шага начинается заново. Примеры, где искомые углы выражены дробями, допускают точные дробные значения; округлять их без запроса нельзя.

Ответы: шаг 1

1. 180° − 47° = 133°.
2. 180° − 63° = 117°.
3. 180° − 142° = 38°.
4. 180° − 88° = 92°; он тупой.

Ответы: развилка

1. При параллельных прямых односторонние внутренние углы в сумме 180°: 141°.
2. Пусть меньший x: x + (x+36°) = 180°, x = 72°; больший 108°.
3. x + 2x = 180°, x = 60°; тупой 120°.
4. α + (α+24°) = 180°, α = 78°, β = 102°.
5. α + 3α = 180°, α = 45° и β = 135°.

Ответы: шаг 2

1. Второй соответствующий также 74°; смежный 180° − 74° = 106°.
2. (2x+10°)+(3x−5°)=180°, 5x=175°, x=35; углы 80° и 100°; запрашиваемый ∠2 = 100°. Проверка: 80° + 100° = 180°.
3. 4x+6°+2x+24°=180°, x=25; углы 106° и 74°. Меньший 74°.
4. (180°−58°)/2=61°; тупой 119°.
5. Накрест лежащий 126°, смежный 180°−126°=54°.

Ответы: шаг 3

1. α + 2α − 20° = 180°, значит α = 200/3° = 66⅔°. Тогда β = 113⅓°. Дробные значения допустимы.
2. 4 части + 5 частей = 9; одна часть 20°. Получаем 80° и 100°. Смежный с 80° равен 100°.
3. В каждом пересечении тупой угол равен 145°. Их сумма 290°; не путать с парой смежных углов в одной вершине.
4. Оба по 90°. Это возможно только при перпендикулярной секущей; при параллельных прямых угол 90° возникает на обоих пересечениях.

Советы по исправлению

Если перепутаны соответствующие и смежные углы, нарисуйте только одну вершину: соседние углы у прямой обязаны давать 180°. Если ответ получился отрицательным, проверьте, не перепутаны ли роли острого и тупого углов, а также правильно ли составлено уравнение. Если ответ превышает 180°, он не может быть обычным внутренним углом при пересечении двух прямых.

Три проверки результата после решения уравнения

Первая: сумма. Если получены смежные углы 61° и 119°, их сумма должна быть ровно 180°. Неважно, были ли данные углы сняты при одном пересечении или восстановлены через соответствующие углы при двух параллельных прямых: для выбранной смежной пары это условие обязательно. Если сумма отличается, проверьте знак при переносе слагаемых.

Вторая: смысл слов «острый» и «тупой». Острый угол меньше 90°, тупой больше 90° и меньше 180°. Если в условии сказано, что исходный угол острый, а вычисление дало 103°, нельзя просто принять число: возможно, неверно составлено уравнение или выбран не тот угол. Два смежных угла не могут оба быть острыми, потому что их сумма была бы меньше 180°.

Третья: какие углы участвуют в равенстве. При секущей накрест лежащие углы равны, когда прямые параллельны; внутренние односторонние углы в сумме дают 180°. Перепутать эти две связи означает получить правильное арифметическое действие для неправильной пары. Для рисунка полезно сначала подписать расположение углов и только потом подставлять 180° или знак равенства.