Восстановление угла по нескольким условиям в фигуре из нескольких пересечений — тематические карточки для 7 класса

Исследование: как связаны несколько пересечений?

В этой работе нужно не угадывать угол по виду линий, а выстроить цепочку из двух фактов: параллельность оснований и сумма углов треугольника. По ходу работы появляются четыре пересечения секущих с основаниями и ещё одно пересечение двух секущих между основаниями.

Точная схема без рисунка. Верхняя прямая a и нижняя b параллельны. Две наклонные прямые t и u пересекаются в точке O строго между a и b. На a точки U (слева) и W (справа); на b — Z (слева) и V (справа). Точка O лежит на отрезках UV и WZ. Образовались верхний треугольник UOW и нижний треугольник VOZ. Обозначим внутренние углы верхнего треугольника у U и W как p и q, у O — r. Это только внутренние углы треугольника, а не любые углы вокруг пересечений.

Задача-наблюдение

Пусть p = 46° и q = 62°. В верхнем треугольнике r = 180° − 46° − 62° = 72°. Подумайте, почему угол у нижней вершины O (между OV и OZ) тоже равен 72°: это вертикальный угол к r. Углы при V и Z равны соответственно p и q, поскольку соответствующие секущие пересекают параллельные прямые.

Сформулируйте правило сами

Заполните фразу: «Чтобы найти внутренний угол при O, надо из 180° вычесть …». Затем объясните, почему в нижнем треугольнике нельзя поменять местами соответствие углов без проверки положения лучей. Решение: r = 180° − p − q; нижний угол при V равен p, при Z равен q. Вертикальность углов при O сохраняется даже если основания не параллельны, но равенство углов при основаниях уже потребует проверки.

Контрпример к распространённой догадке

Ученик утверждает: «Если у O показан угол 113°, то внутренний угол верхнего треугольника r тоже 113°». Возьмём p = 52°, q = 61°. Тогда r = 67°, а смежный с ним угол при O равен 113°. Утверждение неверно: ученик перепутал внутренний угол и смежный. Обязательно отмечайте, по какую сторону секущей находится угол.

Применение к новым данным: 14 заданий

1. При верхних основаниях p = 35°, q = 75°. Определите угол r при O.
2. Дан угол q = 48° и угол r = 86°. Восстановите p.
3. Угол p вдвое больше q, причём q = 40°. Найдите вершину при O.
4. Внешний смежный с p угол у U равен 134°, q = 57°. Найдите r.
5. Угол r = 100°, а p = 32°. Найдите q.
6. Вертикальный к r угол у O равен 74°, p = 51°. Чему равен q?
7. Смежный с r угол у O равен 126°, p = 48°. Найдите q.
8. Разность p и q равна 14°, p больше q, а r = 80°. Найдите p и q.
9. p : q = 3 : 2, r = 55°. Чему равны p и q?
10. Ученик записал p = 80°, q = 105°. Может ли такая схема существовать?
11. Если p = 48°, q = 59°, чему равен угол при нижней вершине V треугольника VOZ?
12. Внешний угол при W равен 119°, p = 57°. Вычислите угол r.
13. Дана сумма p + q = 114°. Чему равен соседний с r угол при O?
14. На рисунке отмечен угол p = 0°. Можно ли считать его настоящим треугольником?

Решения и объяснения

1. r = 70°: 180 − 35 − 75.
2. p = 46°: 180 − 48 − 86.
3. p = 80°, r = 60°.
4. p = 46°, r = 77°: сначала вычитаем внешний угол из 180°.
5. q = 48°: 180 − 100 − 32.
6. q = 55°: вертикальные углы равны, 180 − 74 − 51 = 55.
7. r = 54°, q = 78°: 180 − 54 − 48.
8. p = 57°, q = 43°: сумма 100°, разность 14°.
9. p = 75°, q = 50°: на пять долей приходится 125°.
10. Нет: p + q = 185°; третий внутренний угол был бы −5°, что невозможно.
11. 48°: этот угол равен p по равенству накрест лежащих углов при параллельных основаниях.
12. q = 61°, r = 62°.
13. 114°: r = 66°, соседний угол = 180 − 66 = 114°.
14. Нет: p должен быть строго положителен; при 0° верхняя вершина вырождается.

Проверьте сами условия существования для задач 1–13: p > 0°, q > 0°, r > 0° и p + q + r = 180°. Важны также направления лучей. Значение 105° в задаче 10 нельзя исправлять наугад: оно несовместимо с другим данным, а не свидетельствует о необычной фигуре.

Для обсуждения в классе полезен вопрос: какие выводы сохранятся после отказа от параллельности a ∥ b? Сумма углов каждого треугольника по-прежнему 180°, а вертикальные углы O по-прежнему равны. Однако равенство верхних и нижних углов у оснований без параллельности не обеспечено.

Разбор маршрута доказательства

Для решения удобно держать в памяти не фигуру целиком, а её части. Сначала рассмотрим только верхний треугольник UOW. Его три угла p, q, r не зависят от того, насколько длинны отрезки до нижней прямой b. Если p и q определены правильно, третий угол вычисляется напрямую. Лишь после этого можно переносить сведения в нижний треугольник и сравнивать углы при двух основаниях.

Теперь проверим более трудную ситуацию: на рисунке у W вместо внутреннего q отмечен внешний угол, равный 125°, а у U дано p = 36°. Необходимо сначала получить q = 180° − 125° = 55°. Тогда r = 180° − 36° − 55° = 89°. Неверный путь — подставить 125° прямо как угол q. Вы получите 19°, но это не угол показанного треугольника, потому что 125° лежит вне него. Направление лучей у W решает, какое число следует использовать.

Возьмём ещё одну проверку. Если внутренний угол при O сверху равен 92°, а слева в верхнем треугольнике 41°, то угол справа равен 47°. На нижней фигуре слева у Z будет 47°, справа у V — 41°. Такая перестановка левой и правой стороны не случайная: секущие пересекаются крест-накрест. Она становится очевидной, если последовательно проследить одну прямую от U через O к V и другую от W через O к Z.

Что меняется, если изменить одно условие

Предположим, что нижнюю линию b немного повернули и она перестала быть параллельной a, оставив точки пересечения O, U и W на месте. Верхний треугольник UOW остаётся прежним, так что найденное r сохраняется. Вертикальный к r угол внизу также сохраняется. Но углы при V и Z изменятся, потому что нижние стороны нового треугольника образуют с секущими другие углы. Из этого следует важная граница метода: использовать равенство углов при верхнем и нижнем основании разрешено только после проверки параллельности.

Иногда по чертежу кажется, будто p и q обязаны быть равны, ведь обе секущие «наклонены примерно одинаково». Это предположение не следует из условий. Например, p = 34°, q = 70°, r = 76° — вполне допустимый набор. Равенство p и q появилось бы лишь при дополнительном условии о симметрии или равенстве углов, которого в задаче нет. Поэтому не используйте слова «симметрично» и «примерно» как доказательство.

Порядок взаимной проверки

Попросите партнёра проверить сначала тип каждого указанного угла: внутренний, внешний смежный, вертикальный или угол при основании. После этого пусть он независимо пересчитает арифметику. Разделение двух этапов помогает различать два вида ошибок: неверную геометрическую связь и обычную ошибку вычитания. Особо обратите внимание на отрицательные значения в задаче 10: это сигнал о несовместимости данных, а не приглашение искать угол за пределами треугольника.