Восстановление угла по рисунку для треугольника с ограничениями сторон — задачи с решениями для 7 класса

7 класс · восстановление углов по схематическому рисунку. В каждой задаче у треугольника подписаны выражения для трёх углов и дополнительное ограничение на сравнение сторон. Нужно восстановить углы, а потом решить, совместим ли результат с ограничением на стороны. Само неравенство сторон без информации об углах не позволяет найти численное значение угла — поэтому рисунки снабжены необходимыми подписями.

Начнём с неверного решения

Ученик рассматривает треугольник, где A=40°, B=65°, C=75°, но подписывает ABAC. Приписанное неравенство неверно, даже если сами три угла суммируются в 180°. Это образец ошибки, которую нужно находить в карточках.

             C (∠C)
            / \n           /   \
     (∠A) A─────B (∠B)
       AB напротив ∠C; AC напротив ∠B
       BC напротив ∠A

Схема не в масштабе. Рассуждение идёт по отметкам, а не по видимой длине сторон. Если AB=AC, то угол C равен углу B. Если AB>AC, то угол C больше угла B. Точно так же сравнивайте BC с AB по углам A и C.

Пять ошибок и как их исправить

При проверке записей ученика ищите разные нарушения: неверно раскрыта сумма углов; неверно найден x; угол оказался неположительным; перепутаны противоположные сторона и угол; не учтено строгое неравенство вместо равенства. В нашей подборке положительность углов после вычисления проверяется автоматически, а главная проверка — совместимость с подписью сторон.

Задачи 1–8: восстановите углы и оцените подпись

1. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 25°, ∠B=2x + 35°, ∠C=3x +°. Подпись сторон: AB>AC. Найдите x, все три угла и проверьте, существует ли треугольник с такой подписью сторон.
2. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 49°, ∠B=2x + 18°, ∠C=3x −°. Подпись сторон: AB
3. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 18°, ∠B=2x + 36°, ∠C=3x +°. Подпись сторон: BC
4. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 56°, ∠B=2x + 7°, ∠C=3x −°. Подпись сторон: AB>BC. Найдите x, все три угла и проверьте, существует ли треугольник с такой подписью сторон.
5. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 32°, ∠B=2x − 6°, ∠C=3x −°. Подпись сторон: AB>AC. Найдите x, все три угла и проверьте, существует ли треугольник с такой подписью сторон.
6. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 59°, ∠B=2x + 13°, ∠C=3x +°. Подпись сторон: BC>AB. Найдите x, все три угла и проверьте, существует ли треугольник с такой подписью сторон.
7. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 23°, ∠B=2x + 1°, ∠C=3x +°. Подпись сторон: AB=AC. Найдите x, все три угла и проверьте, существует ли треугольник с такой подписью сторон.
8. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 21°, ∠B=2x + 42°, ∠C=3x +°. Подпись сторон: AB

Задачи 9–16: найдите несовместимые рисунки

1. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 52°, ∠B=2x + 19°, ∠C=3x −°. Подпись сторон: BC>AC. Найдите x, все три угла и проверьте, существует ли треугольник с такой подписью сторон.
2. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 36°, ∠B=2x + 22°, ∠C=3x +°. Подпись сторон: AB>AC. Найдите x, все три угла и проверьте, существует ли треугольник с такой подписью сторон.
3. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 30°, ∠B=2x + 25°, ∠C=3x −°. Подпись сторон: AB
4. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 62°, ∠B=2x + 4°, ∠C=3x +°. Подпись сторон: BC>AC. Найдите x, все три угла и проверьте, существует ли треугольник с такой подписью сторон.
5. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 25°, ∠B=2x + 50°, ∠C=3x −°. Подпись сторон: AB>AC. Найдите x, все три угла и проверьте, существует ли треугольник с такой подписью сторон.
6. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 33°, ∠B=2x + 16°, ∠C=3x −°. Подпись сторон: BC
7. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 19°, ∠B=2x − 7°, ∠C=3x +°. Подпись сторон: AB=AC. Найдите x, все три угла и проверьте, существует ли треугольник с такой подписью сторон.
8. На схематическом рисунке ABC даны ∠A=x + 73°, ∠B=2x + 11°, ∠C=3x +°. Подпись сторон: BC>AB. Найдите x, все три угла и проверьте, существует ли треугольник с такой подписью сторон.

Ответы с подробной проверкой

1. № 1. Из суммы углов 6x+(25)+(35)+(30)=180°: x=15. A=40°, B=65°, C=75°. Условие согласовано: AB>AC верно, так как AB противоположна C, AC — B, BC — A.
2. № 2. Из суммы углов 6x+(49)+(18)+(-13)=180°: x=21. A=70°, B=60°, C=50°. Условие согласовано: AB
3. № 3. Из суммы углов 6x+(18)+(36)+(24)=180°: x=17. A=35°, B=70°, C=75°. Условие согласовано: BC
4. № 4. Из суммы углов 6x+(56)+(7)+(-27)=180°: x=24. A=80°, B=55°, C=45°. Условие противоречиво: AB>BC неверно, так как AB противоположна C, AC — B, BC — A.
5. № 5. Из суммы углов 6x+(32)+(-6)+(-14)=180°: x=28. A=60°, B=50°, C=70°. Условие согласовано: AB>AC верно, так как AB противоположна C, AC — B, BC — A.
6. № 6. Из суммы углов 6x+(59)+(13)+(12)=180°: x=16. A=75°, B=45°, C=60°. Условие согласовано: BC>AB верно, так как AB противоположна C, AC — B, BC — A.
7. № 7. Из суммы углов 6x+(23)+(1)+(24)=180°: x=22. A=45°, B=45°, C=90°. Условие противоречиво: AB=AC неверно, так как AB противоположна C, AC — B, BC — A.
8. № 8. Из суммы углов 6x+(21)+(42)+(3)=180°: x=19. A=40°, B=80°, C=60°. Условие согласовано: AB
9. № 9. Из суммы углов 6x+(52)+(19)+(-29)=180°: x=23. A=75°, B=65°, C=40°. Условие согласовано: BC>AC верно, так как AB противоположна C, AC — B, BC — A.
10. № 10. Из суммы углов 6x+(36)+(22)+(38)=180°: x=14. A=50°, B=50°, C=80°. Условие согласовано: AB>AC верно, так как AB противоположна C, AC — B, BC — A.
11. № 11. Из суммы углов 6x+(30)+(25)+(-25)=180°: x=25. A=55°, B=75°, C=50°. Условие согласовано: AB
12. № 12. Из суммы углов 6x+(62)+(4)+(6)=180°: x=18. A=80°, B=40°, C=60°. Условие согласовано: BC>AC верно, так как AB противоположна C, AC — B, BC — A.
13. № 13. Из суммы углов 6x+(25)+(50)+(-15)=180°: x=20. A=45°, B=90°, C=45°. Условие противоречиво: AB>AC неверно, так как AB противоположна C, AC — B, BC — A.
14. № 14. Из суммы углов 6x+(33)+(16)+(-31)=180°: x=27. A=60°, B=70°, C=50°. Условие противоречиво: BC
15. № 15. Из суммы углов 6x+(19)+(-7)+(12)=180°: x=26. A=45°, B=45°, C=90°. Условие противоречиво: AB=AC неверно, так как AB противоположна C, AC — B, BC — A.
16. № 16. Из суммы углов 6x+(73)+(11)+(24)=180°: x=12. A=85°, B=35°, C=60°. Условие согласовано: BC>AB верно, так как AB противоположна C, AC — B, BC — A.

Для проверки используйте два независимых критерия. Во-первых, сумма трёх вычисленных углов равна 180°, причём каждый угол положителен. Во-вторых, порядок противоположных сторон и углов совпадает; для равных сторон совпадают и противоположные углы. Когда оба условия выполнены, можно построить треугольник с такими углами и порядком сторон. Если второе условие не выполнено, исправьте ошибку подписи или признайте, что весь набор условий несовместим.