Восстановление уравнения касательной для касательной параллельно заданной прямой: математический практикум для 11 класса

Математика · 11 класс. Два печатных варианта на восстановление уравнения касательной по направлению прямой: сначала производная, затем точка касания и окончательное уравнение.

Рабочий лист: почему важен наклон, а не свободный член прямой

Касательная к графику дифференцируемой функции f в точке x = t имеет наклон f′(t). Чтобы она была параллельна прямой y = kx + b, нужно решить f′(t) = k. Число b влияет на положение исходной прямой, но не на её направление. При нескольких решениях уравнения производной касательных может быть несколько.

После нахождения t обязательно вычислите f(t). Подставьте в y − f(t) = f′(t)(x − t). Само совпадение производных не заменяет уравнения касательной.

Вариант А — девять задач на параболы

1. Для f(x) = x² + 2 постройте касательную, параллельную прямой y = −4x + 7. Найдите абсциссу точки касания.
2. Для f(x) = 2x² − 2x + 1 постройте касательную, параллельную прямой y = 6x + 7. Найдите абсциссу точки касания.
3. Для f(x) = x² + 3x − 1 постройте касательную, параллельную прямой y = 1x + 7. Найдите абсциссу точки касания.
4. Для f(x) = −x² + 4x + 2 постройте касательную, параллельную прямой y = 0x + 7. Найдите абсциссу точки касания.
5. Для f(x) = 3x² − 2 постройте касательную, параллельную прямой y = 12x + 7. Найдите абсциссу точки касания.
6. Для f(x) = −2x² − 4x + 5 постройте касательную, параллельную прямой y = 8x + 7. Найдите абсциссу точки касания.
7. Для f(x) = x² − 6x + 4 постройте касательную, параллельную прямой y = −2x + 7. Найдите абсциссу точки касания.
8. Для f(x) = 2x² + 5x − 3 постройте касательную, параллельную прямой y = 9x + 7. Найдите абсциссу точки касания.
9. Для f(x) = 1/2x² − 2x + 6 постройте касательную, параллельную прямой y = 3x + 7. Найдите абсциссу точки касания.

Вариант Б — девять задач на кубические функции

1. Для кубической функции f(x) = x³ найдите все касательные, параллельные y = 3x − 2. Сколько таких касательных и каковы точки касания?
2. Для кубической функции f(x) = −x³ + 1 найдите все касательные, параллельные y = −3x − 2. Сколько таких касательных и каковы точки касания?
3. Для кубической функции f(x) = x³ + 2 найдите все касательные, параллельные y = 0x − 2. Сколько таких касательных и каковы точки касания?
4. Для кубической функции f(x) = 2x³ − 5 найдите все касательные, параллельные y = 24x − 2. Сколько таких касательных и каковы точки касания?
5. Для кубической функции f(x) = −2x³ + 4 найдите все касательные, параллельные y = −24x − 2. Сколько таких касательных и каковы точки касания?
6. Для кубической функции f(x) = x³ − 1 найдите все касательные, параллельные y = 12x − 2. Сколько таких касательных и каковы точки касания?
7. Для кубической функции f(x) = 1/2x³ + 2 найдите все касательные, параллельные y = 6x − 2. Сколько таких касательных и каковы точки касания?
8. Для кубической функции f(x) = x³ − x + 3 найдите все касательные, параллельные y = 2x − 2. Сколько таких касательных и каковы точки касания?
9. Для кубической функции f(x) = 2x³ + 3x найдите все касательные, параллельные y = −6x − 2. Сколько таких касательных и каковы точки касания?

Подробные решения: вариант А

1. Решение. f′(x) = 2x; из f′(t) = −4 получаем t = −2. Значение f(t) = 6. По формуле y = f(t) + f′(t)(x − t) находим y = −4x − 2. Угловые коэффициенты обеих прямых равны −4.
2. Решение. f′(x) = 4x − 2; из f′(t) = 6 получаем t = 2. Значение f(t) = 5. По формуле y = f(t) + f′(t)(x − t) находим y = 6x − 7. Угловые коэффициенты обеих прямых равны 6.
3. Решение. f′(x) = 2x + 3; из f′(t) = 1 получаем t = −1. Значение f(t) = −3. По формуле y = f(t) + f′(t)(x − t) находим y = x − 2. Угловые коэффициенты обеих прямых равны 1.
4. Решение. f′(x) = −2x + 4; из f′(t) = 0 получаем t = 2. Значение f(t) = 6. По формуле y = f(t) + f′(t)(x − t) находим y = 6. Угловые коэффициенты обеих прямых равны 0.
5. Решение. f′(x) = 6x; из f′(t) = 12 получаем t = 2. Значение f(t) = 10. По формуле y = f(t) + f′(t)(x − t) находим y = 12x − 14. Угловые коэффициенты обеих прямых равны 12.
6. Решение. f′(x) = −4x − 4; из f′(t) = 8 получаем t = −3. Значение f(t) = −1. По формуле y = f(t) + f′(t)(x − t) находим y = 8x + 23. Угловые коэффициенты обеих прямых равны 8.
7. Решение. f′(x) = 2x − 6; из f′(t) = −2 получаем t = 2. Значение f(t) = −4. По формуле y = f(t) + f′(t)(x − t) находим y = −2x. Угловые коэффициенты обеих прямых равны −2.
8. Решение. f′(x) = 4x + 5; из f′(t) = 9 получаем t = 1. Значение f(t) = 4. По формуле y = f(t) + f′(t)(x − t) находим y = 9x − 5. Угловые коэффициенты обеих прямых равны 9.
9. Решение. f′(x) = x − 2; из f′(t) = 3 получаем t = 5. Значение f(t) = 17/2. По формуле y = f(t) + f′(t)(x − t) находим y = 3x − 13/2. Угловые коэффициенты обеих прямых равны 3.

Подробные решения: вариант Б

1. Решение. f′(x) = 3x². Уравнение f′(t) = 3 имеет 2 действительных решений: t = −1 → f(t) = −1, y = 3x + 2; t = 1 → f(t) = 1, y = 3x − 2.
2. Решение. f′(x) = −3x². Уравнение f′(t) = −3 имеет 2 действительных решений: t = −1 → f(t) = 2, y = −3x − 1; t = 1 → f(t) = 0, y = −3x + 3.
3. Решение. f′(x) = 3x². Уравнение f′(t) = 0 имеет 1 действительных решений: t = 0 → f(t) = 2, y = 2.
4. Решение. f′(x) = 6x². Уравнение f′(t) = 24 имеет 2 действительных решений: t = −2 → f(t) = −21, y = 24x + 27; t = 2 → f(t) = 11, y = 24x − 37.
5. Решение. f′(x) = −6x². Уравнение f′(t) = −24 имеет 2 действительных решений: t = −2 → f(t) = 20, y = −24x − 28; t = 2 → f(t) = −12, y = −24x + 36.
6. Решение. f′(x) = 3x². Уравнение f′(t) = 12 имеет 2 действительных решений: t = −2 → f(t) = −9, y = 12x + 15; t = 2 → f(t) = 7, y = 12x − 17.
7. Решение. f′(x) = 3/2x². Уравнение f′(t) = 6 имеет 2 действительных решений: t = −2 → f(t) = −2, y = 6x + 10; t = 2 → f(t) = 6, y = 6x − 6.
8. Решение. f′(x) = 3x² − 1. Уравнение f′(t) = 2 имеет 2 действительных решений: t = −1 → f(t) = 3, y = 2x + 5; t = 1 → f(t) = 3, y = 2x + 1.
9. Решение. f′(x) = 6x² + 3. Уравнение f′(t) = −6 имеет 0 действительных решений: ни одного. Нельзя подменять отсутствие точек касания формальной прямой..

Учителю: ошибки, которые стоит обсудить

Касательная может совпасть с заданной прямой, если совпадают и наклон, и свободный член; это не отменяет параллельности в школьном понимании «одно направление», хотя в геометрии иногда отдельно требуют различные параллельные прямые. При работе по условию сравнивают именно угловые коэффициенты. Для функций третьей степени уравнение f′(t) = k способно иметь ноль, один или два действительных корня.

Быстрая числовая проверка: подставьте t в f и найденную прямую. Значения должны совпасть, а коэффициент при x в уравнении касательной — равняться k. Если этого нет, чаще всего ошибка в вычислении свободного члена.

Самопроверка: Найдите несколько касательных, если уравнение f′(t)=k имеет несколько решений; не пропускайте случаи без решений.