Восстановление уравнения касательной для нормали к графику параболы — тематические карточки для 11 класса

Математика · 11 класс. Исследовательский урок: как перейти от нормали к касательной параболы, не забывая про перпендикулярность и вершину.

Начните с наблюдения: касательная и нормаль взаимно перпендикулярны

Пусть дана парабола f(x) = x² и точка x = 1. Тогда f′(1) = 2: касательная имеет наклон 2, а нормаль — −1/2. Обе проходят через (1; 1). Поэтому уравнения: касательная y = 2x − 1, нормаль y = −x/2 + 3/2. Умножение наклонов даёт −1. Проверка помогает восстановить касательную, даже если в условии указана именно нормаль.

Сформулируйте правило сами: для нормали с конечным ненулевым наклоном n у касательной наклон m = −1/n. Но вертикальная нормаль не имеет углового коэффициента; в такой точке касательная горизонтальна. При этом обе прямые обязаны проходить через одну и ту же точку графика.

Исследование: 8 ситуаций с известной точкой касания

1. Парабола y = x² + 1; контактная точка имеет абсциссу t = 2. Восстановите касательную и нормаль к ней.
2. Парабола y = x² − 2x; контактная точка имеет абсциссу t = 3. Восстановите касательную и нормаль к ней.
3. Парабола y = 2x² − 1; контактная точка имеет абсциссу t = 1. Восстановите касательную и нормаль к ней.
4. Парабола y = −x² + 4; контактная точка имеет абсциссу t = −2. Восстановите касательную и нормаль к ней.
5. Парабола y = 1/2x² + 2; контактная точка имеет абсциссу t = 4. Восстановите касательную и нормаль к ней.
6. Парабола y = x² − 3; контактная точка имеет абсциссу t = −1. Восстановите касательную и нормаль к ней.
7. Парабола y = −2x² + x; контактная точка имеет абсциссу t = 2. Восстановите касательную и нормаль к ней.
8. Парабола y = x² + 4x + 1; контактная точка имеет абсциссу t = 0. Восстановите касательную и нормаль к ней.

Контрпримеры и исправление неверных утверждений

1. Проверьте утверждение: у графика y = x² в точке с x = 1 проходит нормаль с наклоном −1/2. Верно ли это? Восстановите касательную.
2. Проверьте утверждение: у графика y = x² + 1 в точке с x = −2 проходит нормаль с наклоном 1/4. Верно ли это? Восстановите касательную.
3. Проверьте утверждение: у графика y = 2x² в точке с x = 1 проходит нормаль с наклоном −1/4. Верно ли это? Восстановите касательную.
4. Проверьте утверждение: у графика y = x² в точке с x = 0 проходит вертикальная нормаль x = 0. Верно ли это? Восстановите касательную.
5. Проверьте утверждение: у графика y = x² − 1 в точке с x = 2 проходит нормаль с наклоном −1/3. Верно ли это? Восстановите касательную.
6. Проверьте утверждение: у графика y = x² − 2x + 1 в точке с x = 1 проходит вертикальная нормаль x = 1. Верно ли это? Восстановите касательную.

Разбор исследования

1. Решение. В точке (2; 5) f′(t) = 4, наклон нормали −1/4; y = −1/4x + 11/2. Обратное правило: −1/−1/4 = 4. Касательная: y = 4x − 3.
2. Решение. В точке (3; 3) f′(t) = 4, наклон нормали −1/4; y = −1/4x + 15/4. Обратное правило: −1/−1/4 = 4. Касательная: y = 4x − 9.
3. Решение. В точке (1; 1) f′(t) = 4, наклон нормали −1/4; y = −1/4x + 5/4. Обратное правило: −1/−1/4 = 4. Касательная: y = 4x − 3.
4. Решение. В точке (−2; 0) f′(t) = 4, наклон нормали −1/4; y = −1/4x − 1/2. Обратное правило: −1/−1/4 = 4. Касательная: y = 4x + 8.
5. Решение. В точке (4; 10) f′(t) = 4, наклон нормали −1/4; y = −1/4x + 11. Обратное правило: −1/−1/4 = 4. Касательная: y = 4x − 6.
6. Решение. В точке (−1; −2) f′(t) = −2, наклон нормали 1/2; y = 1/2x − 3/2. Обратное правило: −1/1/2 = −2. Касательная: y = −2x − 4.
7. Решение. В точке (2; −6) f′(t) = −7, наклон нормали 1/7; y = 1/7x − 44/7. Обратное правило: −1/1/7 = −7. Касательная: y = −7x + 8.
8. Решение. В точке (0; 1) f′(t) = 4, наклон нормали −1/4; y = −1/4x + 1. Обратное правило: −1/−1/4 = 4. Касательная: y = 4x + 1.

Проверка контрпримеров

1. Решение. f′(1) = 2. Правильный наклон нормали −1/2. Утверждение верно. Касательная по данным функции: y = 2x − 1.
2. Решение. f′(−2) = −4. Правильный наклон нормали 1/4. Утверждение верно. Касательная по данным функции: y = −4x − 3.
3. Решение. f′(1) = 4. Правильный наклон нормали −1/4. Утверждение верно. Касательная по данным функции: y = 4x − 2.
4. Решение. f′(0) = 0. Нормаль вертикальна; касательная горизонтальна y = 0.
5. Решение. f′(2) = 4. Правильный наклон нормали −1/4. Утверждение неверно. Касательная по данным функции: y = 4x − 5.
6. Решение. f′(1) = 0. Нормаль вертикальна; касательная горизонтальна y = 0.

Проверка особого случая — вершина параболы

Для y = (x − 2)² + 3 в вершине (2; 3) производная равна нулю. Касательная y = 3, нормаль x = 2. Ошибка «подставим n = −1/0» недопустима: деление на ноль не определено. Здесь следует сразу описать вертикальную и горизонтальную прямые.

Дополнительный вывод: знание одного наклона нормали без точки контакта и без уравнения кривой не определяет единственную касательную. Всегда сначала устанавливают точку или координату касания, иначе через точки с одинаковым наклоном возможны разные прямые.

Самопроверка: Наклоны неперпендикулярны, если их произведение не равно −1; для вертикальных прямых отдельное правило.