Восстановление уравнения параболы при отражении ветвей вниз — математический практикум для 9 класса

9 класс · Табличный практикум · 16 заданий. Цель — восстановить уравнение параболы с ветвями вниз, а не просто научиться ставить минус перед x². Для функции y=a(x−h)²+k ветви направлены вниз тогда и только тогда, когда a<0. Вершина — (h;k); дополнительная точка определяет a при условии, что её абсцисса отличается от h.

Сначала прочитайте данные, а не рисуйте наугад

Отражение графика y=f(x) относительно оси Ox записывается как y=−f(x). Например, если f(x)=x²+4x−2, то после отражения g(x)=−x²−4x+2. Изменить знак только старшего коэффициента недостаточно. В этих заданиях сравниваются отражение графика, симметрия таблицы и восстановление функции по вершине.

16 заданий: от распознавания до поиска противоречия

• 1. Отразите график f(x)=2(x−1)²+3 относительно оси Ox. Запишите g(x), направление ветвей и вершину.
• 2. Для f(x)=(x+2)²−4 получите отражённую параболу и её значение при x=0.
• 3. По таблице А восстановите формулу. Объясните, почему коэффициент при x² отрицателен.
• 4. По таблице Б составьте уравнение в вершинной форме и стандартной форме.
• 5. Вершина (1;6), точка (3;−2). Найдите a и y(x).
• 6. Вершина (−2;4), точка (0;−8). Запишите функцию и вычислите y(−4).
• 7. Вершина (0;5), точка (2;−11). Восстановите функцию.
• 8. Вершина (3;8), точка (1;0). Найдите формулу и ось симметрии.
• 9. Функция f(x)=3x²−6x+1. После отражения относительно Ox определите свободный член и максимум.
• 10. При y=−2(x−2)²+5 ученик нашёл y(0)=13. Найдите ошибку и верное значение.
• 11. Для y=−(x+1)²+9 найдите точки пересечения с Ox.
• 12. Вершина (−1;7), точка (1;−1). Определите коэффициент a.
• 13. По таблице В восстановите уравнение и объясните симметрию точек.
• 14. Даны точки (−1;−5), (0;1), (1;3). Найдите квадратичную функцию и вершину.
• 15. Отражение f(x)=−x²+4x−1 относительно оси Ox должно дать ветви вниз. Согласны?
• 16. Вершина задана как (2;3), а в качестве второй точки указана (2;4). Найдите уравнение или докажите невозможность.

Правильные решения с проверкой

• 1. g(x)=−2(x−1)²−3; ветви вниз, вершина (1;−3). При отражении весь результат умножается на −1.
• 2. g(x)=−(x+2)²+4; g(0)=0, вершина (−2;4).
• 3. Таблица А симметрична относительно x=0, вершина (0;8); при x=1 значение 5, значит a=−3. y=−3x²+8.
• 4. Вершина (1;7), точка (0;5); a=5−7=−2. y=−2(x−1)²+7=−2x²+4x+5.
• 5. −2=4a+6 ⇒ a=−2; y=−2(x−1)²+6.
• 6. −8=4a+4 ⇒ a=−3; y=−3(x+2)²+4, y(−4)=−8.
• 7. −11=4a+5 ⇒ a=−4; y=−4x²+5.
• 8. 0=4a+8 ⇒ a=−2; y=−2(x−3)²+8; ось x=3.
• 9. g(x)=−3x²+6x−1=−3(x−1)²+2. c=−1, максимум 2 при x=1.
• 10. y(0)=−2·4+5=−3. Ученик потерял минус перед квадратом.
• 11. 0=−(x+1)²+9 ⇒ (x+1)²=9 ⇒ x=−4 и x=2.
• 12. −1=4a+7 ⇒ a=−2, y=−2(x+1)²+7.
• 13. Вершина (−1;4), значения по обе стороны равны 3. a=−1; y=−(x+1)²+4.
• 14. c=1; a−b=−6, a+b=2 ⇒ a=−2, b=4. y=−2x²+4x+1; вершина (1;3).
• 15. Нет. g(x)=x²−4x+1 имеет a=1>0 и ветви вверх. Отражение меняет знак a.
• 16. Невозможно. При x=2 вершиной задано значение y=3; точка (2;4) ему противоречит.

Проверка непротиворечивости

Таблица Б построена по трём точкам, симметричным относительно x=1. При y(0)=5 и y(2)=5 вершина (1;7) действительно максимальна. В задачах 15–16 выявляется логическая ошибка, а не ошибка арифметики: график после отражения может раскрыться вверх, а два несовместимых условия не определяют никакой функции.

Три обязательные проверки: подставьте координаты вершины; подставьте данную дополнительную точку; убедитесь, что коэффициент a отрицателен. Для составления формулы по вершине и точке (u;v) используйте a=(v−k)/(u−h)² при u≠h. Если u=h и v≠k, данные противоречат друг другу; если u=h и v=k, коэффициент a не определён однозначно.

Проверка знаков без построения графика

Перед вычислениями сравните положения всех заданных точек относительно вершины. Для параболы с ветвями вниз значение в вершине не меньше значения в любой другой точке. Если условие требует, чтобы точка вне вершины имела большее y, либо данные противоречат направлению ветвей, либо неверно найдена вершина. Направление ветвей определяется знаком a, а положение максимума — координатой k.

Отражение относительно оси Ox сохраняет абсциссы всех нулей: если f(t)=0, то и −f(t)=0. Но вертикальные координаты вершин меняют знак, как и все значения функции. Сопоставьте это с заданиями 1, 2 и 9: нули исходной и отражённой функции совпадают, а максимум отражённой параболы соответствует минимуму исходной. Это даёт независимую проверку без раскрытия скобок.

При восстановлении по трём точкам сначала обратите внимание на равные значения y при симметричных x: середина этих абсцисс — ось параболы. Если такого удобства нет, как в задании 14, подставьте координаты в y=ax²+bx+c и решите систему. Поиск симметрии упрощает вычисления, но не заменяет проверку всех данных.