Восстановление условия перпендикулярности в модели прямоугольного параллелепипеда: упражнения разной сложности, 10 класс

Начальная модель и направление движения

Основная фигура в заданиях 1–16 — куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 4 см. Для расчётов возьмите A=(0;0;0), B=(4;0;0), D=(0;4;0), A₁=(0;0;4), C=(4;4;0), B₁=(4;0;4), D₁=(0;4;4), C₁=(4;4;4). Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда, поэтому условия применимы и к более общей фигуре; только равенство сторон основания необходимо для некоторых выводов о диагоналях.

Ключевое правило: для ненулевых направлений u и v прямой угол равносилен u·v=0. Для скрещивающихся прямых угол определяется по параллельно перенесённым направлениям. Это не означает, что сами скрещивающиеся прямые пересекаются.

Шаг 1. Простые решения

Сначала мысленно выделяйте квадратную грань или вертикальное ребро. Сравнивайте не положение на рисунке, а направления.

1. Рёбра AB и AD: перпендикулярны ли их прямые?
2. Рёбра AB и AA₁: есть ли прямой угол?
3. Диагональ AC и ребро AA₁: сравните направления.
4. Диагонали AC и BD одного квадратного основания: каков угол?
5. Диагональ AC и ребро AB: возможна ли перпендикулярность?

Развилка: верно или ошибка?

Следующие утверждения связаны с перенесением направления и диагоналями. Если линии не имеют общей точки, сначала решите, что именно означает угол между ними, а затем примените критерий.

6. Прямые AB и B₁C₁: пересекаются ли, и какой между ними угол?
7. Прямые AB₁ и AD: выясните, существует ли прямой угол между их направлениями.
8. AB₁ и A₁D₁: что дают компоненты?
9. AC₁ и BD: проверьте пространственную диагональ с диагональю основания.
10. AC₁ и AA₁: верно ли утверждение «любая диагональ куба перпендикулярна вертикали»?
11. AC₁ и B₁D₁: можно ли восстановить прямой угол без подсчёта длин?

Шаг 3. Из линий к плоскости

Здесь нельзя объявлять диагональ перпендикулярной любому ребру только потому, что на перспективном рисунке они выглядят почти под прямым углом. Вычислите произведение или докажите перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости.

12. AC₁ и AB: чему равно скалярное произведение?
13. Ребро AA₁ и вся плоскость ABC: какое условие используется?
14. Прямые BC₁ и AB: определите угол.
15. Прямые BC₁ и BB₁: является ли угол прямым?
16. AC и B₁D₁: нужен ли перенос в общую точку?

Финальный уровень: восстановление длины

В последних двух задачах основание прямоугольное, но уже не обязательно квадратное. Восстановите условие, которое превращает диагонали в перпендикулярные направления.

17. У прямоугольного параллелепипеда a=3, b=4, h=5. Будут ли диагонали основания AC и BD перпендикулярными?
18. В прямоугольном параллелепипеде a, b, h>0. Найдите необходимое и достаточное условие AC⊥BD.

Ответы и восстановление рассуждения

1. Да. Соседние стороны прямоугольного основания взаимно перпендикулярны.
2. Да. Направления (4;0;0) и (0;0;4) дают нулевое скалярное произведение.
3. Да. AC лежит в основании, AA₁ перпендикулярно всей плоскости основания.
4. 90°. Направления (4;4;0) и (−4;4;0) дают произведение −16+16=0.
5. Нет. Произведение (4;4;0)·(4;0;0)=16, угол 45°, а не 90°.
6. Прямые в пространстве скрещиваются, но направления (4;0;0) и (0;4;0) ортогональны. Угол между ними 90° при параллельном переносе.
7. Да. AB₁=(4;0;4), AD=(0;4;0), произведение равно нулю. Общая точка A имеется.
8. AB₁=(4;0;4), A₁D₁=(0;4;0). Они дают 0. Прямые перпендикулярны по направлению, хотя могут быть скрещивающимися.
9. AC₁=(4;4;4), BD=(−4;4;0); −16+16=0. 90°.
10. Нет. (4;4;4)·(0;0;4)=16 ≠ 0. Угол между диагональю и вертикалью около 54,74°.
11. Да. B₁D₁=(−4;4;0), произведение с AC₁ равно 0; диагональ B₁D₁ параллельна BD.
12. 16, а не 0. Следовательно, угол не прямой; cos φ=1/√3.
13. AA₁⊥(ABC). Она перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и AD в этой плоскости, что доказывает перпендикулярность плоскости.
14. 90°. BC₁=(0;4;4), AB=(4;0;0); произведение 0. Прямые пересекаются в B.
15. Нет. Произведение (0;4;4)·(0;0;4)=16. Диагональ BC₁ образует с вертикальным ребром угол 45°.
16. Для изображения угла скрещивающихся прямых удобен перенос, но вычислить его можно сразу: (4;4;0)·(−4;4;0)=0. 90°.
17. Нет. Для AC=(3;4;0), BD=(−3;4;0) произведение −9+16=7 ≠ 0; высота 5 не влияет.
18. AC=(a;b;0), BD=(−a;b;0); произведение b²−a². Нуль достигается при a=b, так как обе длины положительны. Значит основание должно быть квадратом.

Отработка после самопроверки

Если ошиблись в заданиях 6, 8, 11 или 16, повторите определение угла между скрещивающимися прямыми: один из направляющих векторов можно переносить параллельно без изменения угла. Если ошиблись в 17–18, запишите произведение (a;b;0)·(−a;b;0)=b²−a² и увидите, почему в прямоугольнике оно обнуляется именно при a=b, а не при произвольных сторонах.

Быстрый контроль: первые 5 вопросов — по 1 баллу, вопросы 6–16 — по 2 балла, последние два — по 3 балла. Всего 33 балла. За ответ без причины в задачах 17–18 балл за обоснование не начисляется.

Как перенести решение от куба к прямоугольному параллелепипеду

В произвольном прямоугольном параллелепипеде размеры основания обозначают a и b, высоту — h. Тогда направления рёбер по-прежнему ортогональны: (a;0;0)·(0;b;0)=0, (a;0;0)·(0;0;h)=0. Но при переходе от квадрата к прямоугольнику часть красивых симметрий исчезает. Именно так устроены последние два задания: диагонали AC=(a;b;0) и BD=(−a;b;0) перпендикулярны только при равенстве a=b. Высота h не входит в произведение, потому что обе диагонали горизонтальны.

У пространственной диагонали AC₁=(a;b;h) есть ненулевая вертикальная составляющая. Поэтому она не перпендикулярна ребру AA₁, если h>0: произведение (a;b;h)·(0;0;h)=h². Но при сравнении AC₁ с диагональю BD основания получаем ту же разность b²−a²: высота не влияет на взаимную ортогональность этих двух направлений. Такое сравнение показывает, какие элементы фигуры действительно существенны, а какие данные нужны лишь для изображения.

Восстанавливая условия, записывайте положительность всех размеров a,b,h. Равенство a²=b² алгебраически даёт a=±b, но длины неотрицательны и у настоящего параллелепипеда строго положительны, поэтому остаётся только a=b. Если забыть ограничения размеров, в ответе появится несуществующий «параллелепипед с отрицательной стороной».