Восстановление вершины ломаной для четырёх координатных четвертей — карточки с ответами, 6 класс

Памятка для печати: как восстанавливать вершину

Пусть ломаная состоит из двух звеньев A→B→C, а вершина B пропущена. Если первое звено горизонтальное, то yB = yA; если второе вертикальное, то xB = xC. Поэтому при маршруте «горизонтально, затем вертикально» B = (xC; yA). Для порядка «вертикально, затем горизонтально» B = (xA; yC). Здесь знак каждой координаты важен: вершины могут находиться во всех четырёх четвертях.

Работа рассчитана на два независимых варианта. Для каждой карточки найдите B, отметьте четверть, объясните, почему другой порядок движения дал бы иную вершину. Точки берутся с целыми координатами, длина каждого звена положительна; если координаты совпали, проверяйте, не исчезло ли звено.

Вариант 1. Горизонтальное звено — вертикальное звено

1. 1. A(−8; 3), C(−5; −1). Сначала горизонтально, затем вертикально. Восстановите B и его четверть.
2. 2. A(12; −4), C(6; 1). Сначала горизонтально, затем вертикально. Восстановите B и его четверть.
3. 3. A(−5; −2), C(−7; 5). Сначала горизонтально, затем вертикально. Восстановите B и его четверть.
4. 4. A(0; 8), C(4; 3). Сначала горизонтально, затем вертикально. Восстановите B и его четверть.
5. 5. A(−4; −6), C(3; −3). Сначала горизонтально, затем вертикально. Восстановите B и его четверть.
6. 6. A(−3; 5), C(−8; −1). Сначала горизонтально, затем вертикально. Восстановите B и его четверть.
7. 7. A(1; 2), C(7; 6). Сначала горизонтально, затем вертикально. Восстановите B и его четверть.
8. 8. A(5; −9), C(−2; −4). Сначала горизонтально, затем вертикально. Восстановите B и его четверть.
9. 9. A(7; −3), C(9; −11). Сначала горизонтально, затем вертикально. Восстановите B и его четверть.

Вариант 2. Вертикальное звено — горизонтальное звено

10. 10. A(5; 1), C(1; 7). Сначала вертикально, затем горизонтально. Найдите B, подпишите четверть.
11. 11. A(−4; −3), C(1; −6). Сначала вертикально, затем горизонтально. Найдите B, подпишите четверть.
12. 12. A(−9; 9), C(−2; 4). Сначала вертикально, затем горизонтально. Найдите B, подпишите четверть.
13. 13. A(6; −9), C(0; −5). Сначала вертикально, затем горизонтально. Найдите B, подпишите четверть.
14. 14. A(−3; 15), C(−1; 8). Сначала вертикально, затем горизонтально. Найдите B, подпишите четверть.
15. 15. A(8; −6), C(5; 2). Сначала вертикально, затем горизонтально. Найдите B, подпишите четверть.
16. 16. A(−6; −10), C(−2; −7). Сначала вертикально, затем горизонтально. Найдите B, подпишите четверть.
17. 17. A(2; 0), C(−3; −4). Сначала вертикально, затем горизонтально. Найдите B, подпишите четверть.
18. 18. A(7; 11), C(13; 9). Сначала вертикально, затем горизонтально. Найдите B, подпишите четверть.

Ответы и подробный ключ для учителя

Ключ: первый вариант

1. 1. B(−5; 3) — II четверть: xB = xC = −5, yB = yA = 3. Длины звеньев 3 и 4 клетки.
2. 2. B(6; −4) — IV четверть: xB = xC = 6, yB = yA = −4. Длины звеньев 6 и 5 клетки.
3. 3. B(−7; −2) — III четверть: xB = xC = −7, yB = yA = −2. Длины звеньев 2 и 7 клетки.
4. 4. B(4; 8) — I четверть: xB = xC = 4, yB = yA = 8. Длины звеньев 4 и 5 клетки.
5. 5. B(3; −6) — IV четверть: xB = xC = 3, yB = yA = −6. Длины звеньев 7 и 3 клетки.
6. 6. B(−8; 5) — II четверть: xB = xC = −8, yB = yA = 5. Длины звеньев 5 и 6 клетки.
7. 7. B(7; 2) — I четверть: xB = xC = 7, yB = yA = 2. Длины звеньев 6 и 4 клетки.
8. 8. B(−2; −9) — III четверть: xB = xC = −2, yB = yA = −9. Длины звеньев 7 и 5 клетки.
9. 9. B(9; −3) — IV четверть: xB = xC = 9, yB = yA = −3. Длины звеньев 2 и 8 клетки.

Ключ: второй вариант

10. 10. B(5; 7) — I четверть: xB = xA = 5, yB = yC = 7. Длины отрезков 6 и 4 клетки.
11. 11. B(−4; −6) — III четверть: xB = xA = −4, yB = yC = −6. Длины отрезков 3 и 5 клетки.
12. 12. B(−9; 4) — II четверть: xB = xA = −9, yB = yC = 4. Длины отрезков 5 и 7 клетки.
13. 13. B(6; −5) — IV четверть: xB = xA = 6, yB = yC = −5. Длины отрезков 4 и 6 клетки.
14. 14. B(−3; 8) — II четверть: xB = xA = −3, yB = yC = 8. Длины отрезков 7 и 2 клетки.
15. 15. B(8; 2) — I четверть: xB = xA = 8, yB = yC = 2. Длины отрезков 8 и 3 клетки.
16. 16. B(−6; −7) — III четверть: xB = xA = −6, yB = yC = −7. Длины отрезков 3 и 4 клетки.
17. 17. B(2; −4) — IV четверть: xB = xA = 2, yB = yC = −4. Длины отрезков 4 и 5 клетки.
18. 18. B(7; 9) — I четверть: xB = xA = 7, yB = yC = 9. Длины отрезков 2 и 6 клетки.

Почему ответ определяется однозначно? На горизонтальном звене изменяется только абсцисса, поэтому ордината вершины B берётся у A. На вертикальном звене изменяется только ордината, поэтому абсцисса B берётся у C. Если поменять порядок, получится точка пересечения другой пары координатных прямых и вообще другая ломаная.

При проверке удобно рисовать маленькую схему на клетчатой бумаге, не пытаясь подбирать координаты на глаз. Например, из A(−6; 2) к C(4; −5) горизонтально-вертикальный путь проходит через B(4; 2), а вертикально-горизонтальный — через B(−6; −5). Оба пути соединяют A и C, но только один удовлетворяет указанному порядку звеньев.

Оценивание для учителя: за каждое задание можно поставить 2 балла — 1 за координаты, 1 за четверть и объяснение. Если координата верна, но название четверти ошибочно, предложите отдельно проверить сочетание знаков. Задания можно распечатывать без ключа, оставив ответы на отдельной странице или листе.

Почему расположение в четвертях нельзя определять по концам ломаной

Точка B может находиться в другой четверти, чем A и C, даже если оба звена параллельны координатным осям. Поэтому сначала вычисляют именно координаты промежуточной вершины, а затем проверяют знаки xB и yB. Сравнение только конечных точек не даёт ответа о четверти пропущенной вершины. Это особенно заметно в задачах с пересечением осей: на одной части маршрута x меняет знак, на другой — y.

При самопроверке удобно выполнить две простые операции. Первая: убедиться, что на горизонтальном звене неизменна ордината, а на вертикальном — абсцисса. Вторая: сравнить восстановленную вершину с двумя концами и убедиться, что оба звена имеют ненулевую длину. Если получилось B = A или B = C, перепроверьте условие: в наших карточках таких вырожденных звеньев нет.

Ещё один вопрос к каждой задаче: чем отличался бы маршрут при перестановке звеньев? Для одинаковых A и C оба Г-образных пути возможны, но имеют разные промежуточные вершины. Значит, фраза «сначала горизонтально» — математически необходимое условие, а не декоративная подсказка. При правильном ответе ученик может объяснить эту необходимость одним предложением.