Восстановление высоты по площади для фигур с одинаковой высотой — самостоятельная работа, 8 класс

Памятка для печати: одна высота — разные площади

Во всех заданиях каждого варианта рассматриваются фигуры с одинаковой перпендикулярной высотой к выбранному основанию. Это не означает одинаковую площадь. Для треугольника используем S=ah/2, для параллелограмма S=ah, для трапеции S=(a+b)h/2. Отрезок h всегда измеряют под прямым углом к прямой основания; наклонная боковая сторона вместо высоты не подходит.

Порядок работы: в первом задании восстановите общую высоту; затем удерживайте её значение при вычислениях для остальных фигур этого варианта. Укажите в ответах сантиметры для длины и квадратные сантиметры для площади. Если основание не дано, выразите его из формулы площади. Нельзя использовать одну формулу для всех трёх видов фигур.

Вариант А. Общая высота 5 см

1. Треугольник с основанием 12 см имеет площадь 30 см². Найдите общую высоту h.
2. Параллелограмм с основанием 8 см имеет ту же высоту h=5 см. Найдите его площадь.
3. При h=5 см найдите площадь треугольника с основанием 18 см.
4. У двух треугольников общая высота h, основания 6 и 15 см. Во сколько раз различаются площади?
5. Трапеция с основаниями 7 и 13 см имеет высоту 5 см. Найдите площадь.
6. Параллелограмм площадью 65 см² с той же высотой 5 см. Найдите основание.
7. Площадь треугольника 35 см² при высоте 5 см. Найдите основание.
8. Трапеция: основания 9 и 15 см, площадь 60 см². Верна ли общая высота 5 см?
9. Один ученик сравнил треугольник с a=10 см и параллелограмм с a=10 см при общей высоте. Должны ли площади совпадать?

Вариант Б. Общая высота 7 см

1. Трапеция имеет основания 6 и 14 см, площадь 70 см². Найдите высоту h.
2. Треугольник с той же высотой h=7 см и основанием 16 см. Найдите площадь.
3. Параллелограмм при высоте 7 см имеет площадь 84 см². Найдите основание.
4. Два параллелограмма имеют высоту 7 см и основания 9 и 15 см. Найдите разность площадей.
5. Треугольник при h=7 см имеет площадь 21 см². Найдите основание.
6. Трапеция с высотой 7 см и суммой оснований 26 см. Найдите площадь.
7. Трапеция: площадь 77 см², высота 7 см, меньшее основание 9 см. Найдите большее.
8. Два треугольника имеют одну высоту 7 см и площади 28 и 49 см². Найдите основания.
9. Площадь параллелограмма 112 см², основание 16 см. Совпадает ли его высота с общей высотой варианта?

Подробный ключ для учителя

Вариант А — решения

1. h=2·30/12=5 см.
2. S=8·5=40 см².
3. S=18·5/2=45 см².
4. S₂/S₁=15/6=2,5; общая высота сокращается.
5. S=(7+13)·5/2=50 см².
6. a=65/5=13 см.
7. a=2·35/5=14 см.
8. Да: 2·60/(9+15)=120/24=5 см.
9. Нет: площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника, поскольку коэффициенты в формулах разные.

Вариант Б — решения

1. h=2·70/(6+14)=140/20=7 см.
2. S=16·7/2=56 см².
3. a=84/7=12 см.
4. (15−9)·7=42 см².
5. a=2·21/7=6 см.
6. S=26·7/2=91 см².
7. Сумма оснований 2·77/7=22 см; большее 22−9=13 см.
8. Основания 2·28/7=8 см и 2·49/7=14 см.
9. Да: 112/16=7 см.

Проверка типичных ошибок

Ошибка «общее h означает общую S». У треугольников с одинаковой высотой отношение площадей равно отношению оснований, а не единице. Ошибка «для трапеции хватит одного основания». В формуле нужна сумма обоих оснований. Ошибка «для треугольника S=ah». Это площадь параллелограмма, у треугольника требуется деление на 2. Ошибка в единицах. Если ответ находит высоту в см², нужно пересмотреть формулу и разделить площадь на длину.

После выполнения предложите сравнить пункты 2 и 3 варианта А: основания 8 и 18 не дают достаточной информации для отношения площадей, пока не уточнены типы фигур. Для параллелограмма S=ah, для треугольника S=ah/2. Взаимная проверка должна включать не только числовой ответ, но и запись выбранной формулы.

Задача о двух фигурах общей высоты полезна и для чертежей: можно нарисовать параллелограмм и треугольник на параллельных прямых, получив одинаковую высоту даже при визуально разных наклонах сторон. Ключевое измерение — расстояние между параллельными прямыми, а не длина любой боковой стороны.

Проверяем ответ по отношению площадей

Для двух треугольников с одной высотой h площади относятся как основания: (a₁h/2):(a₂h/2)=a₁:a₂. Для двух параллелограммов такое же отношение получается из a₁h:a₂h=a₁:a₂. Но если первая фигура — треугольник, а вторая — параллелограмм, равные основания при общей высоте дают разные площади с коэффициентом 2. Поэтому в задаче сравнения сначала определите тип фигуры, а уже затем сократите общий множитель высоты.

При заполнении листа для печати проверяйте каждое восстановленное основание обратной подстановкой. Например, если трапеция имеет высоту 7 см, площадь 77 см² и основания 9 и 13 см, то (9+13)·7/2=77 см². Обратная подстановка сразу выявит ошибку, когда ученик забыл удвоить площадь при переносе коэффициента 1/2.