Восстановление высоты по площади при масштабировании сторон — рабочий лист для 8 класса

Диагностика — три вопроса без подсказок

1. У треугольника основание 10 см, площадь 45 см². Какова высота?
2. Все линейные размеры треугольника увеличили в 2 раза. Во сколько раз выросла площадь?
3. У параллелограмма S=72 см², основание a=12 см. Найдите высоту.

Проверка базового правила: площадь треугольника S=ah/2, параллелограмма S=ah. При подобном увеличении всех линейных размеров в k раз высота становится kh, а площадь k²S. Если увеличили только основание, автоматически удваивать высоту нельзя.

Рабочие задания — девять новых ситуаций

1. Треугольник с основанием 8 см имеет площадь 24 см². Все размеры увеличены в 3 раза: найдите новую высоту и площадь.
2. Параллелограмм: a=7 см, S=63 см². Масштаб 2: найдите h и S после увеличения.
3. Треугольник a=12 см, S=48 см². При подобном уменьшении вдвое найдите новые величины.
4. У треугольника основание увеличили с 6 до 12 см, а площадь сохранили 30 см². Какая стала высота?
5. Параллелограмм площадью 180 см² получил новое основание 30 см после изменения формы. Восстановите новую высоту.
6. Треугольник после подобного увеличения в 4 раза имеет площадь 320 см² и основание 40 см. Чему равнялась исходная высота?
7. В треугольнике масштаб k=1,5; исходные a=8 см, h=6 см. Найдите площадь увеличенного.
8. Два подобных параллелограмма: площади 45 и 180 см². Во сколько раз отличаются высоты?
9. Может ли высота треугольника увеличиться втрое, а площадь лишь вдвое? Что должно произойти с основанием?

Быстрый ключ и контроль обратным действием

1. h=2S/a=90/10=9 см.
2. В 2²=4 раза. Высота тоже увеличилась в 2 раза.
3. h=S/a=72/12=6 см.
4. Исходная h=2·24/8=6 см; новая h=18 см, площадь 24·9=216 см²; новое основание 24 см.
5. Исходная h=9 см; после масштабирования h=18 см, S=252 см².
6. h=2·48/12=8 см; после уменьшения a=6 см, h=4 см, S=12 см².
7. h=2·30/12=5 см; до изменения было 10 см. Это НЕ подобное увеличение всей фигуры.
8. h=180/30=6 см. Без сведений о прежних размерах нельзя объявить масштаб изменения.
9. Новая h=2·320/40=16 см, исходная h=16/4=4 см; исходная площадь 320/16=20 см².
10. Новые a=12 см, h=9 см; S=12·9/2=54 см². Исходная S=24 см²; 24·2,25=54.
11. Отношение площадей 4, поэтому линейный масштаб √4=2; высота второго в 2 раза больше.
12. Да, если основание станет в 2/3 прежнего: S₂/S₁=(a₂/a₁)·3=2. Такое изменение не является подобием.

Для самопроверки не забудьте выписать формулу, затем подставить величины в сантиметрах и квадратных сантиметрах. Если измерена площадь, ответ для высоты всегда записывается в см, не в см². Для масштаба k полезна обратная проверка S₂=k²S₁ и h₂=kh₁: несовпадение показывает, что перепутаны линейный и площадной коэффициенты.

Пункт 7 из самостоятельной серии отличает увеличение одного размера от полного масштабирования; пункт 12 показывает, как высота может расти, хотя площадь увеличивается меньше. Умение различать эти условия важнее запоминания множителя k².