Восстановление высоты тела при составлении цилиндра с полусферой: проверочная работа по математике, 11 класс

Диагностика ошибок, 11 класс. Тело составлено из прямого кругового цилиндра радиуса r и одной полусферы того же радиуса сверху. Высота цилиндра h, высота всей фигуры H=h+r. Контрольное условие: h>0, r>0.

Неправильная задача: найдите пять принципиальных ошибок

Школьник рассуждает так: «Поскольку наверху круглая часть, добавлю объём целого шара 4πr³/3. Общая высота равна высоте цилиндра. При расчёте наружной площади добавлю площадь круглого стыка дважды. Можно не писать π: оно есть во всех формулах. Если объём V задан, радиус в знаменателе не надо возводить в квадрат». В тексте сразу пять ошибок. Исправьте каждую и объясните её физический смысл.

1. У тела радиуса r=3 см и цилиндра высотой h=4 см ученик вместо объёма полусферы 18π записал 36π см³. Укажите верный вклад купола и полный объём.
2. Радиус r=2 см, цилиндр h=7 см. В работе заявлено H=7 см. Найдите настоящую общую высоту и объясните ошибку.
3. Для радиуса 4 см и цилиндра h=3 см ученик включил площадь плоского круга стыка в наружную поверхность. Назовите наружные составляющие и найдите S.
4. При V=100π см³ и r=5 см ученик записал h=100/5−10/3. Почему знаменатель неверен и чему равна высота цилиндра?
5. У тела r=3 см, h=5 см ответ V=63 см³ дан без π. Покажите правильный расчёт и единицы.

Чтобы проверить восстановления высоты по объёму, сначала отделите ту часть, которую даёт полусфера. Только остаток объёма можно делить на площадь основания цилиндра. Если найденный h неположителен, исходный объём недостаточен для указанных радиуса и положительной высоты цилиндра.

Новые задачи: восстановление неизвестной высоты

1. Составное тело с r=2 см имеет объём V=88/3π см³. Найдите высоту цилиндра h, общую высоту H и проверьте результат обратной подстановкой.
2. Составное тело с r=3 см имеет объём V=90π см³. Найдите высоту цилиндра h, общую высоту H и проверьте результат обратной подстановкой.
3. Составное тело с r=4 см имеет объём V=368/3π см³. Найдите высоту цилиндра h, общую высоту H и проверьте результат обратной подстановкой.
4. Составное тело с r=5 см имеет объём V=925/3π см³. Найдите высоту цилиндра h, общую высоту H и проверьте результат обратной подстановкой.
5. Составное тело с r=6 см имеет объём V=288π см³. Найдите высоту цилиндра h, общую высоту H и проверьте результат обратной подстановкой.
6. Измерена именно наружная площадь S=32π см², радиус r=2 см. Определите h и полную высоту H. Запишите, какие поверхности учитываются.
7. Измерена именно наружная площадь S=51π см², радиус r=3 см. Определите h и полную высоту H. Запишите, какие поверхности учитываются.
8. Измерена именно наружная площадь S=96π см², радиус r=4 см. Определите h и полную высоту H. Запишите, какие поверхности учитываются.
9. Измерена именно наружная площадь S=105π см², радиус r=5 см. Определите h и полную высоту H. Запишите, какие поверхности учитываются.

Ключ и корректировка неверных решений

1. Объём полусферы = (2/3)π·3³=18π см³. Цилиндр: π·3²·4=36π; всё тело V=54π см³. 36π относится к цилиндру, а не куполу.
2. H=h+r=7+2=9 см; полусфера добавляет к высоте свой радиус, а не нуль и не диаметр.
3. Наружные части: боковая поверхность цилиндра 2πrh=24π, криволинейная поверхность полусферы 2πr²=32π и нижнее основание πr²=16π. Итого S=72π см². Круг стыка внутри тела и не учитывается.
4. Верная формула h=V/(πr²)−2r/3=100/25−10/3=2/3 см. В знаменателе должен быть квадрат радиуса. Общая высота H=17/3 см.
5. Объём цилиндра 45π, полусферы 18π, всего V=63π см³. Число π не исчезает, если в исходных размерах задан только радиус и высота.
6. h=(88/3)/4−2·2/3=6 см; H=6+2=8 см. Проверка: V/π=4·6+2·2³/3=88/3.
7. h=(90)/9−2·3/3=8 см; H=8+3=11 см. Проверка: V/π=9·8+2·3³/3=90.
8. h=(368/3)/16−2·4/3=5 см; H=5+4=9 см. Проверка: V/π=16·5+2·4³/3=368/3.
9. h=(925/3)/25−2·5/3=9 см; H=9+5=14 см. Проверка: V/π=25·9+2·5³/3=925/3.
10. h=(288)/36−2·6/3=4 см; H=4+6=10 см. Проверка: V/π=36·4+2·6³/3=288.
11. S=2πrh+3πr²; h=(32−3·2²)/(2·2)=5 см, H=7 см. Площади: цилиндрическая боковая, полусферическая криволинейная и нижний круг; общий стык исключён.
12. S=2πrh+3πr²; h=(51−3·3²)/(2·3)=4 см, H=7 см. Площади: цилиндрическая боковая, полусферическая криволинейная и нижний круг; общий стык исключён.
13. S=2πrh+3πr²; h=(96−3·4²)/(2·4)=6 см, H=10 см. Площади: цилиндрическая боковая, полусферическая криволинейная и нижний круг; общий стык исключён.
14. S=2πrh+3πr²; h=(105−3·5²)/(2·5)=3 см, H=8 см. Площади: цилиндрическая боковая, полусферическая криволинейная и нижний круг; общий стык исключён.

Проверьте три условия перед сдачей: обе части тела имеют один и тот же радиус, высота цилиндра положительная, общая высота превышает радиус. Контроль размерности: V измеряется в см³, S в см², h и H в см. Нельзя использовать формулу сферы вместо полусферы; цилиндр и полусфера соприкасаются по кругу, который не является внешней поверхностью.

Критерий самопроверки. За каждую из пяти ошибок нужно не просто записать правильное число, а объяснить, какую часть тела ученик посчитал лишний раз или пропустил. В девяти задачах восстановления высоты оценивайте отдельно правильную формулу, арифметику и проверку единиц. При использовании объёма обязательно проверяйте найденную высоту обратной подстановкой.