Восстановление задуманного числа обратными действиями — рабочий лист для 5 класса

Углублённый рабочий лист, 5 класс. Имя: _____________________ Дата: __________

Здесь неизвестно исходное число. Известна цепочка действий и её конечный результат. Не угадывай число: прочитай цепочку в обратном порядке и последовательно отменяй каждое действие.

Обратный ход: что можно и чего нельзя

Пограничные случаи перед практикумом

Деление на ноль запрещено. Если число сначала умножили на 0, восстановить его по ответу уже нельзя: например, после умножения на 0 и прибавления 5 всегда получается 5 независимо от задуманного числа. А результат 7 от такой цепочки получить невозможно. Это не «сложные уравнения», а случаи, когда ответа нет или исходных чисел бесконечно много.

Условимся, что в упражнениях № 1–24 исходное число — натуральное положительное; если в цепочке встретилось деление, оно выполняется без остатка, а все промежуточные результаты также натуральные. К примеру, «прибавили 11, разделили на 4 и получили 8» даёт 8 × 4 − 11 = 21. Прямая проверка: (21 + 11) : 4 = 8.

Уровень I · один-два обратных шага

1. К числу прибавили 17 и получили 54. Найди число. Ответ: ______.
2. Из числа вычли 23 и получили 18. Ответ: ______.
3. Число умножили на 6 и получили 114. Ответ: ______.
4. Число разделили на 7 и получили 12. Ответ: ______.
5. К числу прибавили 15, результат умножили на 3 и получили 96. Ответ: ______.
6. Из числа вычли 9, результат разделили на 4 и получили 8. Ответ: ______.
7. Число умножили на 5, затем вычли 26 и получили 69. Ответ: ______.
8. Число разделили на 8, прибавили 17 и получили 29. Ответ: ______.

Уровень II · многошаговые цепочки

Для каждого номера выпиши обратные стрелки от результата к первоначальному числу. Разрешается сначала работать на черновике.

9. Прибавили 14 → умножили на 5 → вычли 30 → получили 160.
10. Вычли 11 → разделили на 3 → прибавили 25 → получили 39.
11. Умножили на 4 → прибавили 18 → разделили на 2 → получили 61.
12. Разделили на 6 → вычли 7 → умножили на 5 → получили 45.
13. Прибавили 8 → умножили на 3 → прибавили 12 → получили 111.
14. Вычли 7 → умножили на 4 → разделили на 6 → получили 22.
15. Умножили на 9 → вычли 54 → разделили на 3 → получили 36.
16. Прибавили 21 → разделили на 7 → умножили на 4 → получили 44.

Уровень III · восемь историй о задуманном числе

17. Задумали число, умножили на 4, прибавили 6, разделили на 2. Итог — 35. Что задумали?
18. Из задуманного числа вычли 8, умножили результат на 6, прибавили 11. Получили 173.
19. Задуманное число разделили на 5, прибавили 17, умножили на 3. Получили 108.
20. К числу прибавили 9, умножили на 4, вычли 23. Получили 121.
21. Число умножили на 7, вычли 15, разделили на 2. Получили 59.
22. Число разделили на 4, вычли 12, умножили на 5. Получили 115.
23. Из числа вычли 13, разделили на 3, прибавили 28. Получили 47.
24. Число умножили на 8, прибавили 17, разделили на 3. Получили 43.

Ответы для уровней I и II

Разбор сложных номеров: от результата к началу и обратно

17. 17: 35 × 2 = 70; 70 − 6 = 64; 64 : 4 = 16. Прямая проверка: (16 × 4 + 6) : 2 = 35.
18. 18: 173 − 11 = 162; 162 : 6 = 27; 27 + 8 = 35. Проверка: (35 − 8) × 6 + 11 = 173.
19. 19: 108 : 3 = 36; 36 − 17 = 19; 19 × 5 = 95. Проверка: (95 : 5 + 17) × 3 = 108.
20. 20: 121 + 23 = 144; 144 : 4 = 36; 36 − 9 = 27. Проверка: (27 + 9) × 4 − 23 = 121.
21. 21: 59 × 2 = 118; 118 + 15 = 133; 133 : 7 = 19. Проверка: (19 × 7 − 15) : 2 = 59.
22. 22: 115 : 5 = 23; 23 + 12 = 35; 35 × 4 = 140. Проверка: (140 : 4 − 12) × 5 = 115.
23. 23: 47 − 28 = 19; 19 × 3 = 57; 57 + 13 = 70. Проверка: (70 − 13) : 3 + 28 = 47.
24. 24: 43 × 3 = 129; 129 − 17 = 112; 112 : 8 = 14. Проверка: (14 × 8 + 17) : 3 = 43.

Контрольный разбор обратимости: пять ловушек

Ловушка 1 — порядок. Если сначала прибавили 8, а потом умножили на 3, то возвращаться нужно делением на 3, а лишь потом вычитанием 8. Попытка сначала вычесть 8 из конечного результата почти всегда даёт другое число. Обратные операции выполняют строго справа налево относительно исходной цепочки.

Ловушка 2 — скобки. Запись «прибавили 14, умножили на 5, вычли 30» означает (x + 14) × 5 − 30, а не x + 14 × 5 − 30. Для задачи 9 правильная обратная запись (160 + 30) : 5 − 14 = 24. Скобки показывают, к чему применялось действие, и сохраняют его смысл.

Ловушка 3 — недопустимое частное. Если после обратного умножения на 2 получилось 71, а предыдущим действием было умножение задуманного натурального числа на 4, попытка получить 71 : 4 даёт дробь. При условии, что задуманное число натуральное, решения не будет. Нельзя округлять дробный результат до ближайшего целого: изменится конечное значение цепочки.

Ловушка 4 — неединственность. Предположим, что любую величину умножили на ноль и затем прибавили 12. Для конечного результата 12 подходят любые исходные натуральные числа: информацию об исходном числе уничтожило умножение на ноль. Это принципиально отличается от 24 упражнений, где любое умножение выполнено на ненулевое число.

Ловушка 5 — промежуточные ограничения. Если цепочка состоит из вычитания 30 и последующего прибавления 50, а задумано положительное целое 20, промежуточный результат −10 не является натуральным. При требовании натуральности всех промежуточных результатов исходное 20 недопустимо, даже если итоговая сумма 40 совпала с заданной.

Проверка первого и второго уровней прямым ходом

Уровень I можно проконтролировать без длинных вычислений. Для № 1 число 37 после прибавления 17 даёт 54; для № 2 из 41 вычитаем 23 и получаем 18. Для № 3 произведение 19 × 6 равно 114; для № 4 число 84 при делении на 7 даёт 12. В № 5 сначала 17 + 15 = 32, затем 32 × 3 = 96. В № 6 сначала 41 − 9 = 32, затем 32 : 4 = 8. В № 7 число 19 превращается в 95, затем в 69. В № 8 число 96 превращается в 12, затем в 29.

Во втором уровне важно проверять всю последовательность, а не только последний шаг. № 9: из 24 получаем 38, затем 190 и 160. № 10: 53 превращается в 42, затем в 14 и в 39. № 11: 26 → 104 → 122 → 61. № 12: 96 → 16 → 9 → 45. № 13: 25 → 33 → 99 → 111. № 14: 40 → 33 → 132 → 22. № 15: 18 → 162 → 108 → 36. № 16: 56 → 77 → 11 → 44. Эти цепочки одновременно подтверждают правильное направление действий и целочисленность деления.

Способ оформления решения и самоконтроль

Удобный формат записи — две строки. В первой изобрази прямые действия стрелками, например для № 21: x → ×7 → −15 → :2 → 59. Во второй выполни обратный ход: 59 → ×2 → +15 → :7 → 19. Такой формат помогает не потерять операцию и увидеть обратную последовательность. После нахождения ответа всегда вернись к первой строке.

Не заменяй обратное действие произвольным вычислением с теми же числами. При умножении на 7 обратный шаг — деление на 7, при вычитании 15 обратный шаг — прибавление 15. Проверяй делитель, натуральность исходного числа и допустимость промежуточных результатов. В заданиях со словами про деньги, массу или длину к числу нужно было бы прибавить соответствующие единицы измерения; здесь величины безразмерны.

Для оценки самостоятельной работы полезно разделить ошибки на три типа: неверный обратный знак; нарушенный порядок действий; арифметическая ошибка в правильной цепочке. Если неверен только расчёт, не нужно заново учить весь метод — достаточно проверить соответствующий шаг и ещё раз пройти прямой ход.

Итоговая самопроверка. У каждой цепочки № 1–24 есть ровно одно положительное целое исходное число, потому что все действия обратимы на данных шагах, ни разу не используется умножение на ноль или деление на ноль, а приведённые ответы выдерживают прямую проверку. Если обратный ход даёт дробь при условии натурального числа или нарушает точное деление, такое число не подходит.