Восстановление знака производной для функции с параметром в коэффициенте: задания с разбором, 11 класс

Учебная цель: восстанавливать интервалы знаков производной при разных значениях параметра в коэффициенте.

Не подменяйте параметр конкретным числом до дифференцирования: изменение знака a может изменить число критических точек и направление ветвей. В этой диагностике наглядно сравниваются случаи a > 0, a = 0 и a < 0.

Ошибочная работа ученика: найдите пять неточностей

Для f(x) = ax³ − 3x ученик написал: «f′ = 3ax² − 3. При a = −2 корни x = ±√(1/a), значит, два критических числа; производная положительна между ними. При a = 0 функция постоянная. Если a положителен, на всей прямой знак одинаков». Здесь сразу несколько нарушений логики: потеря смысла отрицательного подкоренного выражения, неверный знак, неверное заключение о нулевом коэффициенте, невнимание к различию ветвей и отсутствие проверки пробной точки.

Исправление: при a = −2 производная −6x² − 3 отрицательна всегда; реальных нулей нет. При a = 0 исходная функция равна −3x, поэтому производная −3. При a > 0 критические точки ±1/√a, а знак положителен снаружи и отрицателен между ними. Для доказательства удобно подставить x = 0 и большое |x|.

Самостоятельная серия из 16 заданий

В каждом задании параметр указан явно. Вычислите f′(x), найдите все его нули, затем назовите промежутки со знаком «+» и «−». Если нулей нет, объясните почему. В заданиях 13–14 не забудьте исключить x = 0 из области определения.

1. f(x) = ax² + 4x, a = 2. Составьте таблицу знаков производной.
2. f(x) = ax² + 4x, a = −2. Составьте таблицу знаков производной.
3. f(x) = ax² + 4x, a = 0. Составьте таблицу знаков производной.
4. f(x) = ax³ − 3x, a = 1. Составьте таблицу знаков производной.
5. f(x) = ax³ − 3x, a = 4. Составьте таблицу знаков производной.
6. f(x) = ax³ − 3x, a = −2. Составьте таблицу знаков производной.
7. f(x) = ax³ − 3x, a = 0. Составьте таблицу знаков производной.
8. f(x) = x³ − 3ax, a = 9. Составьте таблицу знаков производной.
9. f(x) = x³ − 3ax, a = −1. Составьте таблицу знаков производной.
10. f(x) = x³ − 3ax, a = 0. Составьте таблицу знаков производной.
11. f(x) = ax³ + 6x, a = −2. Составьте таблицу знаков производной.
12. f(x) = ax³ + 6x, a = 0. Составьте таблицу знаков производной.
13. f(x) = ax + 5/x, a = 5. Составьте таблицу знаков производной.
14. f(x) = ax + 5/x, a = 0. Составьте таблицу знаков производной.
15. f(x) = x³ + ax², a = −3. Составьте таблицу знаков производной.
16. f(x) = x³ + ax², a = 0. Составьте таблицу знаков производной.

Ответы с математической проверкой

1. 1. f′ = 4x + 4; минус при x < −1, ноль при −1, плюс при x > −1.
2. 2. f′ = −4x + 4; плюс при x < 1, ноль при 1, минус при x > 1.
3. 3. f′ = 4; плюс на всей действительной прямой; критической точки нет.
4. 4. f′ = 3(x² − 1); плюс при |x| > 1, минус при |x| < 1, нуль при ±1.
5. 5. f′ = 3(4x² − 1); плюс при |x| > 1/2, минус при |x| < 1/2, нуль при ±1/2.
6. 6. f′ = −6x² − 3; строго минус для всякого x.
7. 7. f′ = −3; строго минус при любом x.
8. 8. f′ = 3(x² − 9); плюс при |x| > 3, минус при |x| < 3, ноль в ±3.
9. 9. f′ = 3(x² + 1); строго плюс для всех x.
10. 10. f′ = 3x²; ноль только при x = 0, плюс во всех остальных точках; отрицательной области нет.
11. 11. f′ = −6x² + 6 = 6(1 − x²); плюс при |x| < 1, минус при |x| > 1, ноль при ±1.
12. 12. f′ = 6; плюс на всей прямой, нулей нет.
13. 13. x ≠ 0; f′ = 5 − 5/x²; плюс при |x| > 1, минус при 0 < |x| < 1; нули при ±1.
14. 14. x ≠ 0; f′ = −5/x², минус на (−∞; 0) и (0; +∞).
15. 15. f′ = 3x(x − 2); плюс на (−∞; 0) и (2; +∞), минус на (0; 2); нули 0 и 2.
16. 16. f′ = 3x²; плюс при x ≠ 0, ноль при x = 0, минуса нет.

Разбор неочевидных исключений

№ 3 и № 7. При a = 0 степень многочлена может уменьшиться. Нельзя применять формулу положения критической точки с делением на a, ведь делить на ноль запрещено. Для № 3 получаем f′ = 4, для № 7 — f′ = −3. Оба вывода надо записать отдельно, не пытаясь считать «корень на бесконечности».

№ 10 и № 16. Производная равна положительному квадрату, умноженному на положительное число. В x = 0 производная обращается в ноль, но при переходе через ноль знак не меняется. Следовательно, из одного лишь равенства f′(0) = 0 нельзя заключить, что функция имеет экстремум.

№ 13. Несмотря на знак f′, точка x = 0 не принадлежит области определения функции ax + 5/x; нулём производной она не может быть. Нельзя объединять два отрицательных промежутка через эту точку при записи знаков.

Критерий проверки

Засчитайте решение, если производная вычислена верно, найдены все действительные нули, учтены запрещённые значения x и отдельно рассмотрен нулевой параметр. Рекомендуется проверять сначала выражение для f′, затем пробные точки на числовой прямой. Повторяющаяся ошибка — сокращение параметра a без условия a ≠ 0; такой переход выбрасывает один из важных случаев задачи.