Восстановление знака производной при разрывах в заданной области — тренажёр для 11 класса

Учебная цель: восстанавливать знаки производной по формуле и области определения, не объединяя интервалы через исключённые точки и разрывы.

Если график имеет разрыв или «дырку», знак производной обязательно рассматривают на компонентах области определения. Нельзя записывать знак в точке, где нет производной, даже если сокращённая формула выглядит гладкой. Это особенно важно при выводах о монотонности.

Наблюдение: почему одного знака недостаточно

Пусть f(x) = (x + 1)/(x − 1). Производная f′(x) = −2/(x − 1)² отрицательна везде, где определена. Ученик сделал вывод: «Функция убывает на всей своей области определения». Но f(0) = −1, а f(2) = 3; при переходе через x = 1 происходит скачок между ветвями графика. Теорема о знаке производной применяется на промежутке, на котором функция непрерывна и дифференцируема внутри. Для каждой ветви вывод об убывании верен; для всей разорванной области такой вывод без отдельной проверки не следует.

Заметьте разницу: выражение может иметь производную с одним знаком на обеих частях области, но две части нельзя молча считать одним интервалом. Выколотая точка и вертикальная асимптота — не одно и то же, хотя обе требуют учитывать ограничения.

Исследовательские вопросы

1. Вычислите по определению хотя бы один предел разностного отношения для рациональной функции в точке, где она определена. Почему тот же приём невозможен там, где отсутствует f(x)?
2. Для f(x) = (x² − 9)/(x − 3) сократите дробь. Проверьте, стало ли допустимым x = 3. Сравните графики y = x + 3 и исходной функции.
3. Приведите контрпример утверждению «положительная производная во всех точках её существования всегда означает возрастание на всей области определения». Для этого рассмотрите функцию со скачком ниже.

Практикум: 14 разных функций

Для каждого номера сначала перепишите область определения, затем вычислите производную, выпишите интервалы со знаком «+» и «−» и, если есть, точки нулевой производной. Не включайте в ответ выколотые точки, даже если числитель и знаменатель сокращаются.

1. f(x) = 1/(x − 2). Область определения: x ≠ 2. Определите знаки f′ и границы интервалов.
2. f(x) = (x² − 9)/(x − 3). Область определения: x ≠ 3. Определите знаки f′ и границы интервалов.
3. f(x) = (x + 1)/(x − 1). Область определения: x ≠ 1. Определите знаки f′ и границы интервалов.
4. f(x) = ln|x + 4|. Область определения: x ≠ −4. Определите знаки f′ и границы интервалов.
5. f(x) = 1/(x + 2)². Область определения: x ≠ −2. Определите знаки f′ и границы интервалов.
6. f(x) = (x − 1)³/(x − 1). Область определения: x ≠ 1. Определите знаки f′ и границы интервалов.
7. f(x) = 1/(x² − 16). Область определения: x ≠ −4 и x ≠ 4. Определите знаки f′ и границы интервалов.
8. f(x) = x + 1/x. Область определения: x ≠ 0. Определите знаки f′ и границы интервалов.
9. f(x) = (x + 5)/(x + 2). Область определения: x ≠ −2. Определите знаки f′ и границы интервалов.
10. f(x) = (x² − 25)/(x + 5). Область определения: x ≠ −5. Определите знаки f′ и границы интервалов.
11. f(x) = 3/(x − 6). Область определения: x ≠ 6. Определите знаки f′ и границы интервалов.
12. f(x) = (x − 2)/(x + 3). Область определения: x ≠ −3. Определите знаки f′ и границы интервалов.
13. f(x) = x + 2 при x < 0; f(x) = x при x ≥ 0. Область определения: все действительные x; разрыв при x = 0. Определите знаки f′ и границы интервалов.
14. f(x) = x²/x. Область определения: x ≠ 0. Определите знаки f′ и границы интервалов.

Ключ и разбор знаков

1. 1. f′(x) = −1/(x − 2)²; знак «−» на (−∞; 2) и (2; +∞). На x = 2 производной нет, так как сама функция не определена.
2. 2. После сокращения f(x) = x + 3 только при x ≠ 3. Поэтому f′ = 1 на (−∞; 3) и (3; +∞); точка 3 выколота, знак в ней не ставится.
3. 3. f′ = −2/(x − 1)² < 0 по обе стороны x = 1. Ошибка — считать, будто это гарантирует убывание через точку разрыва.
4. 4. f′ = 1/(x + 4); знак отрицательный при x < −4, положительный при x > −4. В самой точке −4 логарифм не определён.
5. 5. f′ = −2/(x + 2)³: положительная на (−∞; −2), отрицательная на (−2; +∞). Куб сохраняет знак знаменателя.
6. 6. f = (x − 1)² на области определения; f′ = 2(x − 1) < 0 слева от 1 и > 0 справа. x = 1 остаётся выколотой.
7. 7. f′ = −2x/(x² − 16)². Плюс: (−∞; −4) и (−4; 0). Ноль при x = 0. Минус: (0; 4) и (4; +∞).
8. 8. f′ = 1 − 1/x² = (x² − 1)/x². Плюс на (−∞; −1) и (1; +∞), минус на (−1; 0) и (0; 1), ноль при x = −1, 1.
9. 9. f′ = −3/(x + 2)²; минус на обоих промежутках области определения, на x = −2 — разрыв.
10. 10. f = x − 5 только для x ≠ −5; f′ = 1 в двух промежутках. Сокращение не восстанавливает значение в выколотой точке.
11. 11. f′ = −3/(x − 6)² < 0 на (−∞; 6) и (6; +∞). Нельзя ставить знак в x = 6.
12. 12. f′ = 5/(x + 3)² > 0 на (−∞; −3) и (−3; +∞). Через разрыв нельзя автоматически объединять интервалы возрастания.
13. 13. f′ = 1 отдельно на x < 0 и x > 0; при 0 производной нет. Несмотря на знак «+» почти всюду, функция не возрастает на всей прямой: f(−0,1) = 1,9 > f(0) = 0.
14. 14. f = x только при x ≠ 0; производная 1 на (−∞; 0) и (0; +∞). Пунктирный пропуск в графике остаётся даже после сокращения.

Правило, которое нужно сформулировать

На каждом связном промежутке, целиком лежащем в области определения, знак f′ помогает определить направление изменения функции. Если f′ > 0, она возрастает на таком промежутке; если f′ < 0 — убывает. В разрыве производной нет, а область может распадаться на несколько частей. На этом этапе полезно разделить три события: f′ = 0, f′ не существует при существующей f, а сама f не определена.

Например, в задаче 7 точка x = 0 принадлежит области и f′(0) = 0, но x = −4 и x = 4 не принадлежат области вовсе. Поэтому отметки на числовой прямой принципиально различаются: нуль производной — допустимый кандидат для экстремума, исключённая точка — нет.

В задаче 13 в точке 0 значение функции существует, но есть скачок, поэтому производная там не существует. Наличие односторонних производных с одинаковым положительным знаком не заменяет проверки непрерывности. Именно так можно построить контрпример неверному утверждению о монотонности «через» разрыв.

Итоговая взаимопроверка

Попросите партнёра проверить не только знаки, но и запись интервалов. Для каждого пункта засчитывайте результат, если отдельно названы все запрещённые значения и стационарные точки, когда они есть. Чаще всего ошибка возникает после сокращения рациональной дроби: область определения исходной функции нельзя расширять. Если в решении получился единый интервал, содержащий точку разрыва, исправьте запись.