Возрастание и убывание линейной функции — упражнения для печати, 7 класс

7 класс · упражнения для распечатки. Имя __________________ Дата __________. В каждом задании требуется не только назвать направление изменения функции, но и показать выбранный способ проверки. Работай с двумя методами: по знаку углового коэффициента или по значениям в двух точках с x₁ < x₂.

Содержание статьи7 разделов

Два подхода к одному вопросу

Если y = kx + b, при увеличении x на 1 значение y меняется на k. Значит k > 0 — функция строго возрастает, k < 0 — строго убывает. При k = 0 она постоянна: в строгом смысле не является ни возрастающей, ни убывающей, так как значения не становятся больше или меньше. Число b сдвигает график вверх или вниз, но не меняет направления.

Условие Изменение при x → x + 1 Вывод
y = 3x − 2 +3 Возрастает
y = −2x + 5 −2 Убывает
y = 4 0 Постоянна

Для проверки можно взять x = 0 и x = 2. Если во второй точке значение y больше, на этих двух выбранных точках рост подтверждается. Однако общий вывод для всех x делает именно постоянство коэффициента k, а не случайная пара чисел.

Памятка: как выбрать метод

  • Когда дана готовая формула y = kx + b, проще сразу посмотреть на знак k.
  • Когда дана только таблица значений, сначала сравни два значения y при возрастании x; для линейной зависимости можно восстановить k по изменению.
  • Когда задача описывает стоимость или высоту, проверь смысл коэффициента: положительное приращение означает рост, отрицательное — уменьшение.
  • Если k = 0, не говори «функция и возрастает, и убывает» при строгом определении: она постоянна.

Карточка А — быстрое решение по коэффициенту

Для 1–8 не требуется строить прямую. Подчеркни k, поставь рядом его знак и напиши направление изменения. Обязательно различай коэффициент при x и свободный член: большой положительный b не делает убывающую функцию возрастающей.

  1. Для функции y = 3x + 1 выбери метод «по знаку k» и укажи: возрастает, убывает или постоянна? __________________
  2. Для функции y = −2x + 4 выбери метод «по знаку k» и укажи: возрастает, убывает или постоянна? __________________
  3. Для функции y = 1/2x − 3 выбери метод «по знаку k» и укажи: возрастает, убывает или постоянна? __________________
  4. Для функции y = −4x − 1 выбери метод «по знаку k» и укажи: возрастает, убывает или постоянна? __________________
  5. Для функции y = 5 выбери метод «по знаку k» и укажи: возрастает, убывает или постоянна? __________________
  6. Для функции y = x выбери метод «по знаку k» и укажи: возрастает, убывает или постоянна? __________________
  7. Для функции y = −x + 2 выбери метод «по знаку k» и укажи: возрастает, убывает или постоянна? __________________
  8. Для функции y = 5x − 7 выбери метод «по знаку k» и укажи: возрастает, убывает или постоянна? __________________

Карточка Б — сравнение значений

В заданиях 9–14 посчитай два значения, затем обозначь знаком сравнения: y(x₁) ___ y(x₂). Это второе подтверждение вывода. Для половинного коэффициента результат может быть целым, если взять удобный шаг x.

  1. У y = 2x + 3 сравни y(-1) и y(2), сделай вывод об изменении при движении вправо. __________________
  2. У y = −3x + 10 сравни y(0) и y(3), сделай вывод об изменении при движении вправо. __________________
  3. У y = x − 4 сравни y(-2) и y(2), сделай вывод об изменении при движении вправо. __________________
  4. У y = −2x − 1 сравни y(-3) и y(0), сделай вывод об изменении при движении вправо. __________________
  5. У y = 1/2x + 2 сравни y(0) и y(4), сделай вывод об изменении при движении вправо. __________________
  6. У y = −2 сравни y(-1) и y(5), сделай вывод об изменении при движении вправо. __________________

Карточка В — применение в жизненной ситуации

В последних задачах задано ограничение x ≥ 0. Оно связано со смыслом величины, например число выполненных действий не может быть отрицательным. На этой области направление изменения всё равно определяется знаком k. Проверь результат расчётом двух значений y.

  1. Зависимость y = 3x + 10 рассматривают только при x ≥ 0. Зафиксируй значения при x = 1 и 4; как ведёт себя y на этой области? __________________
  2. Зависимость y = −2x + 25 рассматривают только при x ≥ 0. Зафиксируй значения при x = 2 и 6; как ведёт себя y на этой области? __________________
  3. Зависимость y = 5x + 4 рассматривают только при x ≥ 0. Зафиксируй значения при x = 0 и 3; как ведёт себя y на этой области? __________________
  4. Зависимость y = −3x + 18 рассматривают только при x ≥ 0. Зафиксируй значения при x = 1 и 5; как ведёт себя y на этой области? __________________

Взаимопроверка: обменяйтесь листами и проверьте два объяснения — одно по коэффициенту и одно по таблице значений. Если выводы противоречат друг другу, найдите арифметическую ошибку и повторите подстановку. Проверять направление по точкам на рисунке можно, но предпочтительно подтвердить его формулой.

Ответы с короткой проверкой

  1. Возрастает. Коэффициент k = 3; при движении вправо изменение y имеет такой же знак, как k.
  2. Убывает. Коэффициент k = −2; при движении вправо изменение y имеет такой же знак, как k.
  3. Возрастает. Коэффициент k = 1/2; при движении вправо изменение y имеет такой же знак, как k.
  4. Убывает. Коэффициент k = −4; при движении вправо изменение y имеет такой же знак, как k.
  5. Постоянна. Коэффициент k = 0; при движении вправо изменение y имеет такой же знак, как k.
  6. Возрастает. Коэффициент k = 1; при движении вправо изменение y имеет такой же знак, как k.
  7. Убывает. Коэффициент k = −1; при движении вправо изменение y имеет такой же знак, как k.
  8. Возрастает. Коэффициент k = 5; при движении вправо изменение y имеет такой же знак, как k.
  9. y(-1) = 1, y(2) = 7; растёт. При росте x на 3 изменение y равно 6.
  10. y(0) = 10, y(3) = 1; уменьшается. При росте x на 3 изменение y равно −9.
  11. y(-2) = −6, y(2) = −2; растёт. При росте x на 4 изменение y равно 4.
  12. y(-3) = 5, y(0) = −1; уменьшается. При росте x на 3 изменение y равно −6.
  13. y(0) = 2, y(4) = 4; растёт. При росте x на 4 изменение y равно 2.
  14. y(-1) = −2, y(5) = −2; не меняется. При росте x на 6 изменение y равно 0.
  15. y(1) = 13, y(4) = 22; возрастает. k = 3: каждое увеличение x на 1 меняет y на 3; ограничение x ≥ 0 не меняет направление.
  16. y(2) = 21, y(6) = 13; убывает. k = -2: каждое увеличение x на 1 меняет y на -2; ограничение x ≥ 0 не меняет направление.
  17. y(0) = 4, y(3) = 19; возрастает. k = 5: каждое увеличение x на 1 меняет y на 5; ограничение x ≥ 0 не меняет направление.
  18. y(1) = 15, y(5) = 3; убывает. k = -3: каждое увеличение x на 1 меняет y на -3; ограничение x ≥ 0 не меняет направление.

Разбор типичных спорных ответов

Вариант с k = 0 — постоянная функция, её нельзя считать строго возрастающей или строго убывающей. Величина b сдвигает прямую, но не влияет на знак изменения: y = −2x + 100 всё равно убывает. При отрицательном коэффициенте рост x приводит к уменьшению y; это можно заметить и на примере с убывающим остатком ресурса.

Для проверки без ключа предложите посчитать y(0), y(1) и разность. Для линейной функции разность y(1) − y(0) равна k. Получить тот же вывод можно по двум любым точкам с большим и меньшим x. Дети, которым трудно визуализировать наклон, могут пользоваться таблицей до тех пор, пока не закрепят связь знака и изменения.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым