Вписанная окружность треугольника и радиус: самостоятельная работа для 9 класса

9 класс · самостоятельная работа · 27 заданий. Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника, её центр лежит на пересечении биссектрис. Радиус r связан с площадью S и полупериметром s формулой S = rs. Работа последовательно проверяет расчёт полупериметра, переход к радиусу и осмысленность результата.

Перед мини-тестом

Разобьём треугольник на три треугольника с общей вершиной в центре вписанной окружности: высота каждого к стороне равна r. Сумма площадей равна 1/2·ar + 1/2·br + 1/2·cr = r(a+b+c)/2 = rs. Поэтому r = S/s = 2S/P, где P — полный периметр. Для прямоугольного треугольника со сторонами a, b и гипотенузой c также удобно равенство r = (a+b−c)/2.

Письменный мини-тест

В первой серии данных достаточно для непосредственного применения r = 2S/P; треугольники подобраны так, чтобы такие площади и периметры были геометрически возможны. Запишите формулу и вычисления, а не только последнее число: отметка зависит от правильного выбора полупериметра.

Часть A. Радиус через площадь

1. Площадь треугольника 6 см², периметр 12 см. Найдите радиус вписанной окружности.
2. Площадь треугольника 30 см², периметр 30 см. Найдите радиус вписанной окружности.
3. Площадь треугольника 60 см², периметр 40 см. Найдите радиус вписанной окружности.
4. Площадь треугольника 84 см², периметр 56 см. Найдите радиус вписанной окружности.
5. Площадь треугольника 54 см², периметр 36 см. Найдите радиус вписанной окружности.
6. Площадь треугольника 24 см², периметр 24 см. Найдите радиус вписанной окружности.
7. Площадь треугольника 96 см², периметр 48 см. Найдите радиус вписанной окружности.
8. Площадь треугольника 150 см², периметр 60 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Продолжение: различаем два метода

Если у прямоугольного треугольника известны катеты и гипотенуза, можно не искать высоту или площадь по формуле Герона. Достаточно вычислить r = (a+b−c)/2. Но полезно затем сверить результат другим способом через произведение катетов, поделённое на два. Именно двойная проверка показывает, что обе формулы согласуются.

Часть B. Радиус прямоугольного треугольника

9. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4 см, гипотенуза 5 см. Найдите r.
10. В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 и 12 см, гипотенуза 13 см. Найдите r.
11. В прямоугольном треугольнике катеты равны 8 и 15 см, гипотенуза 17 см. Найдите r.
12. В прямоугольном треугольнике катеты равны 7 и 24 см, гипотенуза 25 см. Найдите r.
13. В прямоугольном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, гипотенуза 15 см. Найдите r.
14. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8 см, гипотенуза 10 см. Найдите r.

Самостоятельная работа с обратными вопросами

В следующих упражнениях площадь неизвестна, а радиус и периметр известны. Здесь формулу нужно применять в исходном виде S = rP/2. Последняя группа обращает это равенство для вычисления P. Обращайте внимание на смысл размерностей: r и P выражены в сантиметрах, их произведение даёт квадратные сантиметры.

Часть C. Найдите площадь

15. Радиус вписанной окружности 2 см, периметр треугольника 30 см. Найдите площадь.
16. Радиус вписанной окружности 3 см, периметр треугольника 40 см. Найдите площадь.
17. Радиус вписанной окружности 4 см, периметр треугольника 48 см. Найдите площадь.
18. Радиус вписанной окружности 5 см, периметр треугольника 60 см. Найдите площадь.
19. Радиус вписанной окружности 3 см, периметр треугольника 36 см. Найдите площадь.
20. Радиус вписанной окружности 1 см, периметр треугольника 12 см. Найдите площадь.

Часть D. Найдите периметр

21. Площадь треугольника 60 см², радиус вписанной окружности 3 см. Найдите периметр.
22. Площадь треугольника 24 см², радиус вписанной окружности 2 см. Найдите периметр.
23. Площадь треугольника 150 см², радиус вписанной окружности 5 см. Найдите периметр.
24. Площадь треугольника 54 см², радиус вписанной окружности 3 см. Найдите периметр.

Короткое исследование

Последние пункты не требуют новых формул, зато требуют объяснения. При доказательстве через три треугольника нельзя назвать каждый из них равнобедренным: достаточно того, что расстояние от центра окружности до каждой стороны одинаково и равно r. При подобии проверяйте одновременно изменение площади и периметра.

Часть E. Аргументация

25. Объясните, почему центр вписанной окружности не может лежать вне невырожденного треугольника.
26. Докажите формулу S = rs, разбив треугольник на три части с общей вершиной в центре вписанной окружности.
27. Два подобных треугольника имеют коэффициент подобия 2 (стороны второго вдвое больше). Во сколько раз радиус вписанной окружности второго больше?

Методическая рекомендация: учащимся, которым трудно самостоятельно получать формулы, разрешите в первой серии пользоваться записанным на полях равенством S = rs. Во второй серии попросите заменить формулу r = (a+b−c)/2 расчётом через площадь и полупериметр только для двух задач, чтобы проверить её, а не повторять одно и то же двадцать раз. Сильным ученикам предложите доказать, что равенство S = rs остаётся верным у тупоугольного треугольника: радиусы, опущенные из центра вписанной окружности на три стороны, по-прежнему являются внутренними высотами трёх меньших треугольников. Это отличает вписанную окружность от описанной, центр которой в тупоугольном случае расположен вне фигуры.

Для самостоятельного продолжения после проверки можно использовать обратный контроль: если радиус вычислен как r = 3 см, а полупериметр известен и равен 20 см, произведение rs обязано вернуть площадь 60 см². Такая обратная проверка особенно важна в задачах с целыми числами: правильно разделить площадь на полупериметр легче, когда заранее понятна связь с исходной геометрической фигурой. Рекомендуется выписывать все данные в одной строке, рядом с ними — искомую величину и её единицы измерения. При написании объяснения называйте «центр вписанной окружности», а не просто «центр треугольника»: у треугольника есть несколько разных замечательных точек.

Ключ и разбор для проверки

Отдельная часть для учителя и самостоятельного контроля. Сначала решите задания без подсказок. При распечатке ученикам можно не включать листы с ответами.

Мини-тест: площадь и периметр

1. 1 см. Полупериметр s = 6 см, поэтому r = 6/6 = 1 см.
2. 2 см. Полупериметр s = 15 см, поэтому r = 30/15 = 2 см.
3. 3 см. Полупериметр s = 20 см, поэтому r = 60/20 = 3 см.
4. 3 см. Полупериметр s = 28 см, поэтому r = 84/28 = 3 см.
5. 3 см. Полупериметр s = 18 см, поэтому r = 54/18 = 3 см.
6. 2 см. Полупериметр s = 12 см, поэтому r = 24/12 = 2 см.
7. 4 см. Полупериметр s = 24 см, поэтому r = 96/24 = 4 см.
8. 5 см. Полупериметр s = 30 см, поэтому r = 150/30 = 5 см.

Проверочная серия: прямоугольные треугольники

9. 1 см: r = (3 + 4 − 5)/2 = 1. Проверка: площадь 6 см², полупериметр 6 см.
10. 2 см: r = (5 + 12 − 13)/2 = 2. Проверка: площадь 30 см², полупериметр 15 см.
11. 3 см: r = (8 + 15 − 17)/2 = 3. Проверка: площадь 60 см², полупериметр 20 см.
12. 3 см: r = (7 + 24 − 25)/2 = 3. Проверка: площадь 84 см², полупериметр 28 см.
13. 3 см: r = (9 + 12 − 15)/2 = 3. Проверка: площадь 54 см², полупериметр 18 см.
14. 2 см: r = (6 + 8 − 10)/2 = 2. Проверка: площадь 24 см², полупериметр 12 см.

Перенос навыка: найдите площадь

15. 30 см². S = r·P/2 = 2·30/2 = 30.
16. 60 см². S = r·P/2 = 3·40/2 = 60.
17. 96 см². S = r·P/2 = 4·48/2 = 96.
18. 150 см². S = r·P/2 = 5·60/2 = 150.
19. 54 см². S = r·P/2 = 3·36/2 = 54.
20. 6 см². S = r·P/2 = 1·12/2 = 6.

Вычислите периметр по обратной формуле

21. 40 см: P = 2S/r = 120/3 = 40.
22. 24 см: P = 2S/r = 48/2 = 24.
23. 60 см: P = 2S/r = 300/5 = 60.
24. 36 см: P = 2S/r = 108/3 = 36.

Объяснения и самостоятельный вывод

25. Центр — точка пересечения внутренних биссектрис, а они пересекаются внутри треугольника.
26. Высоты трёх частей к сторонам a, b, c равны r. Значит S = ar/2 + br/2 + cr/2 = r(a+b+c)/2 = rs.
27. В 2 раза. У второго площадь увеличивается в 4 раза, полупериметр в 2 раза, поэтому r = S/s увеличивается вдвое.

Проверка и оценка. Пункты 1–24 — по 1 баллу за верную формулу, вычисления и единицу; пункты 25–27 — по 2 за объяснение. Всего 30. Для получения зачёта (ориентир 22 балла) обязательно правильно решить не менее двух задач из группы прямоугольных треугольников и хотя бы одну обратную задачу на периметр. Если ошибок много, сначала закрепите разницу P и s, а затем повторите всю работу на новых числах.