Выбор числа с заданными признаками делимости для делителей 4 и 8 — мини-практикум с ответами, 5 класс

Мини-практикум для 5 класса. Задача — не просто увидеть кратное 4 или 8 число, а отличить три ситуации: число делится на оба делителя, только на 4 или ни на один. Выполняйте маршрут по порядку: лёгкий старт, проверка чужих выводов, ступени сложности и итоговая работа.

Маршрут начинается: две короткие подсказки

Признак делимости на 4 смотрит на последние две цифры. Число делится на 8, если число, образованное последними тремя цифрами, делится на 8. Например, 1 016 делится на 8, потому что 016 = 16. Проверка только последних двух цифр для делителя 8 недостаточна.

Если целое число делится на 8, то оно обязательно делится на 4: 8k = 4 · (2k). Поэтому ответ «делится на 8, но не на 4» невозможен. А «на 4, но не на 8» — вполне возможен.

На каком шаге возникают ошибки

Число, заканчивающееся на 40, гарантированно кратно 4: 40 делится на 4, а вся предыдущая часть образует целые сотни. Но для 8 это рассуждение не годится: среди чисел с концом «40» встречаются и кратные 8, и не кратные 8. Например, у 240 последние три цифры 240 = 8 · 30, а 140 = 8 · 17 + 4. Поэтому для делимости на 8 нельзя смотреть только на десятки и единицы.

Если трудно разделить варианты, начните с признака на 8. Все найденные кратные 8 автоматически входят в множество кратных 4. После этого среди оставшихся найдите кратные 4; они образуют категорию «только на 4». Наконец, отложите те числа, чьи последние две цифры не кратны 4. Такая последовательность уменьшает количество двойных проверок, но не подменяет доказательство.

В заданиях с квадратом □ проверьте цифры системно. Сначала ограничьте варианты по двум последним цифрам для делимости на 4. Затем оставшиеся кандидаты проверьте по трём последним цифрам для делимости на 8. Не ограничивайтесь первым найденным решением: по условию могут подходить сразу две цифры. Для уверенной проверки полезно записывать равенства вида 568 = 8 · 71, а для исключения 564 = 8 · 70 + 4. Отдельно учтите, что три последние цифры «016» означают обычное число 16, а не какой-то новый четырёхзначный разряд.

Ступень 1. Лёгкий старт (по 1 баллу)

1. У числа 124 выберите верную запись: «на 4», «на 8», «на оба». Если подходит несколько вариантов, объясните.
2. Для 312 отметьте все делители из пары 4 и 8.
3. Назовите, к какой из трёх категорий относится 516.
4. Проверьте 728 по последним трём цифрам и сделайте второй вывод о 4.

Развилка. Верно или ошибка? (по 2 балла)

Для каждого утверждения напишите «верно» или «ошибка», затем дайте верную формулировку.

5. «Число 1004 делится на 8, потому что 04 делится на 4».
6. «Число 2016 делится на 4 и на 8: последние три цифры равны 016».
7. «Число 122 не делится на 8, но на 4 делится, ведь оно чётное».
8. «Если 480 делится на 8, отдельно проверять делимость на 4 уже не обязательно».

Ступень 2. Выбирай осознанно (по 2 балла)

9. Отберите числа, которые делятся на 4, но не на 8: 740, 664, 132, 136, 140, 144. Для каждого выбранного числа предъявите короткий расчёт.
10. Из 560, 564, 568 выберите делящиеся на 8; затем выпишите все делящиеся на 4. Сравните списки.
11. Укажите, выполняются ли оба признака для числа 1 288. Разрешается сравнить последние три цифры с ближайшими кратными 8.
12. Проверьте 3 064. Почему первые цифры 3 и 0 не мешают применить нужный признак?

Ступень 3. Пропущенная цифра (по 3 балла)

13. Найдите все цифры □, при которых число 32□ делится на 8. Сколько решений?
14. Найдите все цифры □, при которых 5□6 делится на 4. Отдельно отметьте те из них, что обеспечивают делимость на 8.
15. В числе 76□ замените квадрат цифрой так, чтобы число делилось на 8. Подходит ли цифра 4? Обоснуйте.
16. Составьте два трёхзначных числа с одинаковыми последними двумя цифрами 24: одно делится на 8, другое — нет.

Финиш: контроль без подсказки (по 2 балла)

17. Разнесите 752, 756, 758 по категориям: «на оба», «только на 4», «ни на один».
18. Можно ли привести число, которое делится на 8, но не на 4? Дайте обоснование через произведение.

Ответы с коротким объяснением каждого шага

1. Только на 4: 24 кратно 4, но 124 = 8 · 15 + 4.
2. На оба: 312 = 8 · 39 = 4 · 78.
3. Только на 4: 516 = 4 · 129, но 516 = 8 · 64 + 4.
4. На оба: 728 = 8 · 91, значит, и на 4.
5. Ошибка: 1004 = 8 · 125 + 4; кратность 4 не гарантирует кратность 8.
6. Верно: 016 означает 16, делится на 8; поэтому 2016 делится и на 4.
7. Ошибка: 22 не делится на 4; чётность — признак делимости лишь на 2.
8. Верно: 480 = 8 · 60, а значит, и 4 · 120.
9. 740, 132, 140. Остаток при делении на 8 у каждого равен 4; последние две цифры 40, 32, 40 кратны 4. Числа 664, 136, 144 кратны 8.
10. На 8: 560 и 568. На 4: 560, 564, 568. Число 564 даёт остаток 4 при делении на 8.
11. На оба: последние три цифры 288 = 8 · 36.
12. На оба: последние три цифры 064 = 64 = 8 · 8; тысячи не влияют на признак.
13. 0 и 8: числа 320 и 328 кратны 8. Другие цифры дают ненулевой остаток.
14. Для 4: 1, 3, 5, 7, 9 (последние две цифры 16, 36, 56, 76, 96). Для 8: только 3 и 7: 536 = 8 · 67, 576 = 8 · 72.
15. 0 и 8: 760 = 8 · 95; 768 = 8 · 96. Цифра 4 даёт 764 = 8 · 95 + 4.
16. Например, 224 (делится на 8) и 124 (не делится). У обоих конец «24»: это доказывает, что две последние цифры не определяют делимость на 8.
17. 752 — на оба; 756 — только на 4; 758 — ни на один: 58 не кратно 4.
18. Нет: 8 · k = 4 · (2 · k) для любого целого k.

Как исправлять ошибки

Если ошиблись в заданиях 1–4, повторите признак по последним двум цифрам; если в 5–8, проверьте различие между признаками для 4 и 8. При ошибке в 13–16 выпишите варианты последней цифры 0–9 и проверяйте их системно: пропущенные решения обычно возникают из-за спешки. Для самопроверки используйте итоговое равенство «число = делитель · целое число».