Выбор достаточного условия для квадрата с дополнительным условием: рабочий лист для 8 класса

Базовый пример: прямоугольник с равными соседними сторонами

На чертеже ABCD — прямоугольник: все углы прямые и противоположные стороны попарно равны. Учитель добавил AB=BC. Из этого достаточно заключить, что все четыре стороны равны: AB=CD, BC=AD, а две соседние стороны одинаковы. Значит, ABCD — квадрат. Проверим вывод в обратную сторону: у любого квадрата есть прямые углы и равные соседние стороны. Поэтому условие здесь не только достаточно, но и необходимо, если исходный класс фигур — прямоугольники.

Важно начинать с указанного класса фигур. У ромба все стороны уже равны, поэтому для квадрата понадобится дополнительное условие на углы или диагонали. У параллелограмма одной равной стороны или прямого угла по отдельности недостаточно: каждый признак даёт лишь ромб или прямоугольник. Проверка обратного направления помогает не выдавать частный признак за универсальный.

Шаг 1. Выберите добавочное условие

1. Прямоугольник ABCD, AB=7 см, BC=7 см. Достаточно ли этих данных?
2. Прямоугольник 8×5 см. Известно, что диагонали равны. Квадрат?
3. Ромб со стороной 6 см; угол A=90°. Достаточно для квадрата?
4. Ромб; диагонали равны. Достаточно для квадрата?
5. Параллелограмм; AB=BC. Достаточно для квадрата?
6. Параллелограмм; диагонали равны. Достаточно?
7. Параллелограмм; диагонали равны и взаимно перпендикулярны. Достаточно?
8. Четырёхугольник: все стороны равны, один угол прямой. Достаточно?

Шаг 2. Усложняем исходную фигуру

1. Прямоугольник имеет площадь 81 см² и AB=BC. Найдите сторону и периметр.
2. Ромб имеет периметр 32 см и угол B=90°. Найдите площадь.
3. У параллелограмма соседние стороны по 10 см, угол A=70°. Какая добавка достаточна: равные диагонали или ещё одно равенство сторон?
4. У параллелограмма диагонали длиной 12 см и 12 см. Сторона 5 см. Обязательно ли это квадрат?
5. У прямоугольника AB=2x+1, BC=3x−2 см. Найдите x, при котором он квадрат.
6. В ромбе ∠A=2x+10°, ∠B=3x−5°. Найдите x и выясните, квадрат ли ромб.
7. Четырёхугольник имеет четыре прямых угла и периметр 28 см. Достаточно ли этого для квадрата?
8. У ромба диагонали 10 и 10 см. Определите площадь и проверьте квадратность.

Подробные решения и обратная проверка

К заданиям 1–8

1. Да: прямые углы есть по определению прямоугольника, равенство соседних сторон даёт квадрат со стороной 7 см.
2. Нет. В любом прямоугольнике диагонали равны, в том числе в прямоугольнике 8×5 см, который не квадрат.
3. Да. У ромба соседние углы дополнительные; при A=90° все углы по 90°. Четыре равные стороны остаются.
4. Да. Ромб — параллелограмм; равные диагонали делают его прямоугольником. Одновременно он ромб, значит квадрат.
5. Нет. Ромб с углом 60° является параллелограммом с равными соседними сторонами, но не квадратом.
6. Нет: прямоугольник 4×9 см имеет равные диагонали, но не равные стороны.
7. Да. В параллелограмме равные диагонали характеризуют прямоугольник, а перпендикулярные — ромб. Обе характеристики вместе дают квадрат.
8. Да: это ромб с прямым углом, следовательно квадрат.

К заданиям 9–16

1. Сторона √81=9 см; периметр 36 см. Проверка: 9·9=81 см² и все углы прямые.
2. Сторона 32/4=8 см; ромб с прямым углом — квадрат. Площадь 8²=64 см².
3. Достаточна равность диагоналей: при уже равных соседних сторонах получим прямоугольник и ромб одновременно. Второе равенство сторон ничего не добавляет.
4. Нет. Например, у прямоугольника с неравными сторонами диагонали равны. Длина 12 см сама по себе не даёт равенства соседних сторон.
5. 2x+1=3x−2 ⇒ x=3; длины сторон равны 7 см (и положительны). Следовательно квадрат.
6. Соседние углы ромба в сумме 180°: 5x+5=180 ⇒ x=35. Углы A=80°, B=100°; это не квадрат.
7. Нет. Прямоугольник со сторонами 5 и 9 см имеет периметр 28 см, но не квадрат. Нужно равенство соседних сторон.
8. Равные диагонали ромба означают квадрат; площадь d₁d₂/2=10·10/2=50 см². Сторона 5√2 см.

Как обнаружить ложный «достаточный признак»

Возьмите условие «у четырёхугольника равны диагонали». Это звучит убедительно, но есть равнобедренные трапеции с равными диагоналями, которые квадратами не являются. Условие «у четырёхугольника диагонали перпендикулярны» тоже слишком слабое: оно выполняется у многих дельтоидов. Даже сочетание этих двух свойств без предположения о параллелограмме требует дополнительного доказательства. Поэтому в наших задачах условия про диагонали применяются к уже заданному ромбу либо параллелограмму, где они имеют нужную силу.

Обратная проверка состоит из трёх вопросов. Во-первых, принадлежит ли фигура указанному классу? Во-вторых, выполняется ли дополнительное условие? В-третьих, действительно ли из этих двух условий следует одновременно равенство всех сторон и прямота всех углов? Если удаётся построить прямоугольник 5×9 или ромб с углом 60°, значит, предлагаемого признака не хватает.

При вычислительных заданиях стоит отдельно контролировать единицы и существование фигуры. Например, в пункте 13 условие x=3 даёт положительную сторону, поэтому прямоугольник существует. При отрицательной рассчитанной длине равенство выражений само по себе не означало бы существования стороны. В ответах к ромбам вычисления основаны на свойствах данной фигуры, а не на свойстве любого четырёхугольника.

Ещё один способ доказать квадрат: совместить два признака

Уже известно, что фигура — параллелограмм. Для него достаточно установить одновременно два факта: соседние стороны равны и один угол прямой. Первое делает параллелограмм ромбом, второе — прямоугольником. Следовательно, полученная фигура принадлежит обоим классам и является квадратом. Если убрать один из фактов, вывод разрушается: ромб может иметь углы 60° и 120°, а прямоугольник может иметь стороны 3 и 8 см. Это примеры, которые показывают именно недостаточность каждого условия по отдельности.

Второй удобный путь связан с диагоналями. В любом параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Если к этому известно, что диагонали равны, параллелограмм становится прямоугольником; если диагонали перпендикулярны, он становится ромбом. Обе дополнительные характеристики одновременно обеспечивают квадрат. При этом одно только равенство диагоналей не доказывает квадратность: равные диагонали имеет всякий прямоугольник. Одна только перпендикулярность также недостаточна: её имеют многие неквадратные ромбы.

Обратная проверка на трёх примерах

Пример А. У прямоугольника стороны 6 и 6 см: равенство соседних сторон подтверждено, все углы уже прямые; это квадрат. Пример Б. У ромба сторона 6 см, но угол 65°: равенство всех сторон есть, дополнительного условия прямого угла нет; квадратность опровергнута. Пример В. У параллелограмма стороны 6 и 6 см и диагонали равны: мы установили одновременно свойства ромба и прямоугольника, значит квадрат. Все три примера проверяют один и тот же навык — правильно различать обязательные исходные предпосылки и добавочные условия.

Когда в задании просят «выбрать достаточное условие», не следует автоматически выбирать самое сильное из предложенных. Достаточным может быть и минимальное по объёму условие: например, в прямоугольнике достаточно равенства всего двух соседних сторон, не требуется отдельно перечислять четыре угла по 90°. Напротив, для произвольного четырёхугольника равенство лишь двух сторон не даёт такого вывода. Слово «достаточно» всегда относится к уже известным данным, а не существует само по себе.