Выбор достаточного условия для трапеции с боковыми углами — мини-практикум с ответами, 8 класс

Сомнительное утверждение: если боковые углы дополняют друг друга до 180°, то любой четырёхугольник — трапеция

Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD, вершины идут по контуру. Углы A и D прилегают к боковой стороне AD; B и C — к BC. Из A+D=180° по признаку параллельности следует AB∥CD. Но в школьном определении трапеции с ровно одной парой параллельных противоположных сторон нужно ещё исключить параллелограмм: например, проверить A+B≠180°, что означает AD не параллельна BC. Не забывайте, что A+B+C+D=360° для любого выпуклого четырёхугольника.

В каждой строке для чтения углов использован порядок A, D; B, C. Попробуйте самостоятельно объяснить, почему первая и четвёртая строки имеют одинаковый геометрический вывод, хотя величины углов разные. Ключевое свойство — не размер каждого угла, а отношение сумм к развёрнутому углу.

Карточка I. Проверь достаточность условий

1. A=70°, D=110°, B=85°, C=95°. Докажите, что ABCD — трапеция (в строгом смысле).
2. A=80°, D=100°, B=100°, C=80°. Почему назвать фигуру трапецией недостаточно точно?
3. A=75°, D=105°, B=75°, C=105°. Назовите более специальный вид трапеции.
4. A=65°, D=115°, B=95°, C=85°. Укажите параллельные основания.
5. A=100°, D=80°, B=80°, C=100°. Найдите логическую ошибку в доказательстве «A+D=180° ⇒ трапеция».
6. A=60°, D=120°, B=70°, C=110°. Верно ли, что AD∥BC?
7. A=68°, D=112°, B=68°, C=112°. Достаточно ли равенства A=B для равнобедренности уже установленной трапеции?
8. A=82°, D=98°, B=98°, C=82°. Сколько пар противоположных сторон параллельны?

Карточка II. Скрытые противоречия и недостающие данные

1. Выпуклый четырёхугольник: A=72°, D=108°, B=79°. Найдите C и вид фигуры.
2. В выпуклом четырёхугольнике A=105°, D=75°, B=105°. Найдите C. Установите, равнобедренная ли трапеция.
3. A=95°, D=85°, B=85°. Вычислите C; не является ли фигура параллелограммом?
4. Достаточно ли только A+D=180° для строгой трапеции? Приведите числовой контрпример.
5. Можно ли при A=80° и D=100° задать B=90° и C=80°, сохранив выпуклый четырёхугольник? Найдите противоречие.
6. AB∥CD, A=67°, B=67°. Докажите равнобедренность, если AD∦BC.
7. AB∥CD, A=74°, D=106°, B=106°. Определите, параллелограмм ли ABCD.
8. AB∥CD, A=84°, B=96°. Можно ли назвать ABCD строгой трапецией? Обоснуйте.

Ключ с доказательствами

1. Да: A+D=180°, B+C=180°; A+B=155°≠180°, поэтому AB∥CD и AD не ∥ BC.
2. Нет: A+D=180° и A+B=180° — обе пары противоположных сторон параллельны, это параллелограмм.
3. Да, и трапеция равнобедренная: AB∥CD, A=B, D=C; A+B=150°≠180°.
4. Да, AB∥CD по сумме A+D, боковые стороны не параллельны по A+B=160°.
5. Нет: A+B=180° и A+D=180°, это параллелограмм, а не строгая трапеция.
6. Да: AB∥CD и A+B=130° исключает параллелограмм.
7. Да; A=B, поэтому при AB∥CD трапеция равнобедренная.
8. Нет: оба направления параллельны; A+B=180°.
9. C=360−72−108−79=101°. A+D=180°; A+B=151°≠180°: строгая трапеция.
10. C=360−105−75−105=75°. A+D=180°, A=B=105°, трапеция равнобедренная; A+B=210°≠180°.
11. C=360−95−85−85=95°. Обе пары сторон параллельны: A+D=180°, A+B=180°, фигура — параллелограмм.
12. Нет: A=80°, D=100°, B=100°, C=80° дают параллелограмм; A+D=180° не исключает вторую параллельную пару.
13. Нельзя: сумма углов 80+100+90+80=350°, а требуется 360°. Чтобы существовал такой четырёхугольник, C должно быть 90°.
14. В трапеции равенство углов при одном основании — достаточное условие равнобедренности: AD=BC. Дополнительное AD∦BC исключает параллелограмм.
15. A+B=74+106=180°, значит AD∥BC; в сочетании с AB∥CD получаем параллелограмм.
16. A+B=180°, поэтому AD∥BC; вместе с AB∥CD это параллелограмм, а не строгая трапеция.

Три ошибки, которые важно обнаружить

Ошибка 1 — проверили только одну сумму. Равенство A+D=180° доказывает параллельность AB и CD, но само по себе не исключает параллелограмм. Для строгого определения трапеции нужна непараллельность второй пары сторон. Ошибка 2 — перепутали боковую сторону и основание. Если основанием считается AB, прилегающие к боковой стороне AD углы — A и D, а не A и B. Ошибка 3 — игнорировали сумму 360°. Некорректная четвёрка углов может не описывать никакой выпуклый четырёхугольник.

Проверять равнобедренность по A=B допускается только после установления AB∥CD и исключения параллелограмма: иначе равные углы у основания могут иметь и прямоугольник. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании попарно равны, а боковые стороны одинаковой длины.

Для самостоятельной проверки: в ответах 9–11 сначала восстановлены недостающие углы с использованием суммы 360°, затем отдельно доказана параллельность. Не делайте вывод о виде фигуры только по равенству двух углов — существенна их взаимная позиция относительно одной секущей.