Выбор модели для набора данных по данным об изменении площади: задания с разбором, 8 класс

Класс: 8. Цель: выбирать зависимость площади от длины по таблице и геометрическому описанию.

Если обе стороны изменяются с x, площадь часто содержит x². Когда растёт только одна сторона, площадь может меняться линейно. Особенно внимательно проверяйте рамки и полосы: разность двух квадратичных площадей иногда оказывается линейной. Считайте x положительным числом сантиметров, размеры не должны быть нулевыми или отрицательными. Ответы приведены в см².

Памятка к печатному листу

Квадрат со стороной x: S = x². Прямоугольник x на 6: S = 6x. Прямоугольник x на (x + 3): S = x² + 3x. Полоска ширины 2 вдоль квадрата: (x + 2)² − x² = 4x + 4. Последняя зависимость линейная, хотя исходные площади по отдельности квадратичны.

Для проверки составьте небольшой ряд значений при x = 1, 2, 3: у линейной модели разности равны; у квадратичной при одинаковом шаге постоянны вторые разности. Дальше не угадывайте по графическому виду рисунка — используйте размеры.

Вариант А — моделирование и исправление таблицы

1. Квадрат: сторона x. Запишите S(x), найдите S(2), S(5) и тип модели.

2. Прямоугольник: ширина 4 см, длина x см. Найдите модель и площади при x = 3 и x = 6.

3. Прямоугольник: ширина x, длина x + 2. Найдите S(1), S(2), S(3).

4. Два квадрата: большой со стороной x + 1, маленький со стороной x. Найдите площадь внешней полосы.

5. У равнобедренного прямоугольного треугольника оба катета x. Как зависит площадь от x?

6. Прямоугольник x на (x + 5): таблица при x = 1, 2, 3. Проверьте ответ ученика 6, 12, 24.

7. Из квадрата (x + 3)² вырезан квадрат x². Полученная площадь линейна или квадратична?

8. Прямоугольная площадка 7 м на x м: допустимо ли сравнивать её площадь с таблицей значений в см² без перевода?

9. Квадрат со стороной 2x: сравните S(x) и площадь квадрата со стороной x.

Вариант Б — сравнение зависимостей и ловушки площади

1. Плитка — квадрат со стороной x + 4. Вычислите S для x = 1, 2, 3 и определите тип модели.

2. Столешница имеет ширину x, длину 8 см. Составьте модель для x = 2, 5, 7.

3. Прямоугольный сад x на 3x. Какова модель площади и S(4)?

4. Рамка между квадратами со сторонами x + 2 и x. Найдите S при x = 1 и x = 4.

5. Полоска длиной x и шириной 0,5 см. Зависит ли площадь квадратично от x?

6. Треугольник с основанием x и высотой x + 2. Найдите формулу и S(6).

7. Два квадрата: площадь одного 9x², другого 4x². Разность площадей линейна?

8. Ученик записал площадь прямоугольника x на (x + 1) как x² + 1. Укажите ошибку и вычислите площадь при x = 3.

9. Рамка между квадратами (x + 5)² и x². Составьте три строки таблицы при x = 1, 2, 3.

Подробный ключ учителя: вариант А

1. S = x²; S(2) = 4, S(5) = 25 см². Квадратичная, потому что обе стороны равны x.

2. S = 4x; площади 12 и 24 см². Линейная модель: одна сторона постоянна.

3. S = x(x + 2) = x² + 2x; значения 3, 8, 15 см². Первые разности 5 и 7: квадратичная зависимость.

4. S = (x + 1)² − x² = 2x + 1 см²; зависимость линейная. При x = 2 площадь полосы 5 см².

5. S = x·x/2 = x²/2, квадратичная; при x = 4 площадь 8 см².

6. Верные значения 6, 14, 24 см². Средняя клетка ошибочна: 2·(2 + 5) = 14. Формула S = x² + 5x.

7. S = (x + 3)² − x² = 6x + 9; линейна, так как члены x² сокращаются.

8. Нет. S = 7x м², если x задан в метрах. Для см² нужно умножить число квадратных метров на 10 000; смешение единиц делает таблицу неверной.

9. S(2x) = (2x)² = 4x²: площадь увеличилась в 4 раза, а не в 2. Обе зависимости квадратичные.

Ключ учителя: вариант Б

1. S = (x + 4)²; получаем 25, 36, 49 см². Первые разности 11 и 13, вторые 2; квадратичная.

2. S = 8x; значения 16, 40, 56 см², линейная зависимость.

3. S = x·3x = 3x²; при x = 4 получаем 48 см² (при размерах в сантиметрах).

4. S = (x + 2)² − x² = 4x + 4; при 1: 8, при 4: 20 см². Линейная зависимость.

5. S = 0,5x см² — линейная, поскольку ширина постоянна.

6. S = x(x + 2)/2; при x = 6 площадь 6·8/2 = 24 см². Квадратичная зависимость.

7. Нет. Разность 5x² остаётся квадратичной; разные старшие коэффициенты не сокращаются.

8. Забыто умножение x·1. Верно x² + x, а при x = 3 площадь 12 см².

9. S = 10x + 25; значения 35, 45, 55 см². Постоянная первая разность 10 показывает линейный характер.

Проверка разумности: площадь не бывает отрицательной, а линейная модель возможна для составной фигуры, даже если она получена вычитанием площадей двух квадратов. Не забудьте об ограничении x > 0 для геометрического смысла всех размеров.