Выбор модели для набора данных при квадратичной зависимости величин — карточки с ответами, 8 класс

Класс: 8. Цель: распознавать квадратичную модель по набору точек, проверять её не одним, а всеми значениями.

В таблицах вход x меняется с постоянным шагом. Результаты измерения считаются точными; выбираем модель только из заранее предложенных формул. Совпадение нескольких точек само по себе не доказывает закон для всех возможных x. Для учебной модели сравниваем первые и вторые разности: если вторые разности постоянны и отличны от нуля, среди моделей степени не выше двух подходит квадратичная.

Начальная таблица и проверяемое предположение

Первые разности 3, 7, 11, 15 не постоянны: прямая не подойдёт. Вторые разности равны 4; для шага 1 коэффициент при x² равен 4/2 = 2. Значение при x = 0 даёт свободный член 3, а подстановка x = 1: 2 + b + 3 = 6, значит b = 1. Получаем y = 2x² + x + 3. При x = 4 модель даёт 39 — последняя строка согласована.

Если x увеличивается не на 1, обычные вторые разности нельзя непосредственно делить на 2: нужно учитывать квадрат шага. Здесь все таблицы составлены с шагом 1, чтобы ошибка не возникала.

Практикум: 16 заданий

Сначала запишите первые разности, затем — вторые. В заданиях 11–16 оценивайте не только вычисление, но и правильность сделанного вывода.

1. Карточка 1. x: 0, 1, 2, 3; y: 3, 6, 13, 24. Выберите линейную или квадратичную модель (степень не выше 2), запишите формулу и объясните выбор разностями.

2. Карточка 2. x: 0, 1, 2, 3; y: 4, 5, 8, 13. Выберите линейную или квадратичную модель (степень не выше 2), запишите формулу и объясните выбор разностями.

3. Карточка 3. x: -1, 0, 1, 2; y: 6, 1, 2, 9. Выберите линейную или квадратичную модель (степень не выше 2), запишите формулу и объясните выбор разностями.

4. Карточка 4. x: 0, 1, 2, 3; y: -1, 3, 7, 11. Выберите линейную или квадратичную модель (степень не выше 2), запишите формулу и объясните выбор разностями.

5. Карточка 5. x: -1, 0, 1, 2; y: 3, 6, 7, 6. Выберите линейную или квадратичную модель (степень не выше 2), запишите формулу и объясните выбор разностями.

6. Карточка 6. x: 0, 1, 2, 3; y: 0, -1, 2, 9. Выберите линейную или квадратичную модель (степень не выше 2), запишите формулу и объясните выбор разностями.

7. Карточка 7. x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1. Выберите линейную или квадратичную модель (степень не выше 2), запишите формулу и объясните выбор разностями.

8. Карточка 8. x: 0, 1, 2, 3; y: 5, 2, 1, 2. Выберите линейную или квадратичную модель (степень не выше 2), запишите формулу и объясните выбор разностями.

9. Карточка 9. x: -1, 0, 1, 2; y: 2, -2, 2, 14. Выберите линейную или квадратичную модель (степень не выше 2), запишите формулу и объясните выбор разностями.

10. Карточка 10. x: -2, -1, 0, 1; y: 4, 0, 0, 4. Выберите линейную или квадратичную модель (степень не выше 2), запишите формулу и объясните выбор разностями.

11. В таблице x = 0, 1, 2, 3 значения y = 1, 4, 9, 16. Ученик выбрал y = x² + 1. Найдите противоречие и верную модель степени не выше 2.

12. Для y = 3x² + 2 найдены значения 2, 5, 14, 29 при x = 0, 1, 2, 3. Верно ли утверждение: первые разности постоянны?

13. При x = 1, 2, 3, 4 получены y = 5, 8, 13, 20. Кто-то утверждает, что y = x² + 4. Проверьте каждую строку и объясните, почему одной проверки мало.

14. Таблица x = 0, 1, 2, 3; y = 2, 4, 8, 14. В последнюю клетку ученик записал 13. Исправьте ошибку по вторым разностям.

15. Есть только две точки: (0; 2) и (1; 5). Можно ли однозначно утверждать, что зависимость квадратична?

16. Значения y при x = −1, 0, 1 равны 6, 3, 4. Какая из формул подходит: y = 2x² − x + 3 или y = x² + 3?

Ключ с проверкой и объяснениями

1. Первые разности: 3, 7, 11; вторые: 4, 4. Поскольку вторая разность равна 4, коэффициент при x² — 2. Подстановка всех x подтверждает формулу y = 2x² + 1x + 3. Это квадратичная модель.

2. Первые разности: 1, 3, 5; вторые: 2, 2. Поскольку вторая разность равна 2, коэффициент при x² — 1. Подстановка всех x подтверждает формулу y = 1x² + 0x + 4. Это квадратичная модель.

3. Первые разности: -5, 1, 7; вторые: 6, 6. Поскольку вторая разность равна 6, коэффициент при x² — 3. Подстановка всех x подтверждает формулу y = 3x² − 2x + 1. Это квадратичная модель.

4. Первые разности равны 4, вторые равны нулю; подходит линейная модель y = 4x − 1. Назвать её квадратичной с ненулевым коэффициентом нельзя.

5. Первые разности: 3, 1, -1; вторые: -2, -2. Поскольку вторая разность равна -2, коэффициент при x² — -1. Подстановка всех x подтверждает формулу y = -1x² + 2x + 6. Это квадратичная модель.

6. Первые разности: -1, 3, 7; вторые: 4, 4. Поскольку вторая разность равна 4, коэффициент при x² — 2. Подстановка всех x подтверждает формулу y = 2x² − 3x + 0. Это квадратичная модель.

7. Первые разности равны -2, вторые равны нулю; подходит линейная модель y = -2x + 7. Назвать её квадратичной с ненулевым коэффициентом нельзя.

8. Первые разности: -3, -1, 1; вторые: 2, 2. Поскольку вторая разность равна 2, коэффициент при x² — 1. Подстановка всех x подтверждает формулу y = 1x² − 4x + 5. Это квадратичная модель.

9. Первые разности: -4, 4, 12; вторые: 8, 8. Поскольку вторая разность равна 8, коэффициент при x² — 4. Подстановка всех x подтверждает формулу y = 4x² + 0x − 2. Это квадратичная модель.

10. Первые разности: -4, 0, 4; вторые: 4, 4. Поскольку вторая разность равна 4, коэффициент при x² — 2. Подстановка всех x подтверждает формулу y = 2x² + 2x + 0. Это квадратичная модель.

11. При x = 1 предложенная формула даёт 2 вместо 4. Вторые разности 2, 2; верная модель y = (x + 1)². Она даёт 1, 4, 9, 16 для всех строк.

12. Нет. Первые разности 3, 9, 15; вторые разности 6 и 6. Значит изменения растут, а не остаются равными.

13. Значения x² + 4 равны 5, 8, 13, 20: таблица согласуется с моделью. Но по конечному набору точек нельзя доказать, что любой реальный процесс следует ей вне этих x.

14. Верные первые разности 2 и 4, значит следующая должна равняться 6, а не 5. Четвёртое значение 8 + 6 = 14. Вторая разность равна 2.

15. Нет. Им удовлетворяют y = 3x + 2 и y = x² + 2x + 2. Двух точек недостаточно для определения квадратичной модели с тремя неизвестными коэффициентами.

16. Первая: при x = −1 получаем 2 + 1 + 3 = 6, при нуле 3, при x = 1 получаем 2 − 1 + 3 = 4. Вторая при x = −1 дала бы 4, поэтому исключается.

Итоговый критерий: если шаг аргумента постоянный, а вторая разность не ноль, квадратная модель степени не выше двух возможна. Она должна совпасть со всеми наблюдаемыми точками, включая отрицательные x. Для реального процесса наблюдения не заменяют доказательства глобального закона.