Выбор модели для набора данных при наличии одинаковых значений функции — тренажёр для 8 класса

Класс: 8. Цель: узнавать, что одинаковые значения функции при разных входах позволяют и чего не позволяют заключить.

Вопросы предназначены для короткой диагностики. Все данные точные. Если два разных x имеют одинаковый y, строго возрастающая или строго убывающая линейная функция y = kx + b с k ≠ 0 не может описывать обе точки. Но один повтор сам по себе не доказывает квадратичность: есть постоянные и другие зависимости.

Три контрольных вопроса и десять новых задач

1. Контроль 1. y(−3) = y(3) = 11. Обязательно ли y = x² + 2?

2. Контроль 2. Для x = −2, −1, 0, 1, 2 значения y = 7, 4, 3, 4, 7. Что лучше: y = x² + 3 или y = 2x + 3?

3. Контроль 3. Если y(1) = y(4) = 6, может ли подойти линейная функция с ненулевым наклоном?

4. Для y = (x − 2)² сравните значения при x = 0 и x = 4.

5. Даны y(−1) = y(5) = 9 и известно, что график — парабола с вертикальной осью. Найдите ось симметрии.

6. Таблица: x = −2, −1, 0, 1, 2, y = 4, 1, 0, 1, 4. Подходит ли y = |x|?

7. y = 5 − (x + 1)². Назовите пару различных целых аргументов с равными значениями, не вычисляя все строки.

8. При x = −1, 0, 1 значения y = 4, 4, 4. Достаточно ли этого, чтобы объявить зависимость постоянной при всех x?

9. Для y = x² − 6x + 8 найдите второй аргумент, дающий то же значение, что x = 1.

10. x = 0 и x = 2 имеют y = 7. Какой вариант подходит: y = (x − 1)² + 6 или y = 2x + 7?

11. Для y = −2(x − 4)² + 3 назовите максимум и два аргумента с y = 1.

12. y(−2) = 10, y(2) = 10, y(0) = 2. Среди y = 2x² + 2 и y = 4x + 2 выберите совместимую.

13. В наборе (1; 5), (2; 5), (3; 5) какой вывод надёжен: «модель обязательно квадратична» или «только по трём точкам глобальную модель не определить»?

Быстрый ключ с пояснениями

1. Нет: подойдут также y = x² + 2 для этих двух точек и, например, постоянная функция y = 11; данных недостаточно для единственного выбора.

2. Первая формула даёт 7, 4, 3, 4, 7. Вторая при x = −2 дала бы −1. Симметрия и вторые разности подтверждают первую из двух предложенных.

3. Нет. У линейной функции k·1 + b = k·4 + b, поэтому 3k = 0 и k = 0; ненулевой наклон исключён.

4. Оба равны 4: точки равноудалены от оси симметрии x = 2.

5. Середина аргументов (−1 + 5)/2 = 2, следовательно ось x = 2. Это верно при ненулевом старшем коэффициенте.

6. Нет: при x = −2 модуль равен 2, а в таблице 4; y = x² подходит во всех пяти точках.

7. Например, x = −3 и x = 1: оба на расстоянии 2 от −1 и дают y = 1.

8. Нет: y = 4 и y = 4 + x(x − 1)(x + 1) совпадают в трёх данных точках, но вне таблицы различаются.

9. Ось x = 3, а x = 1 от неё на 2 единицы; второй аргумент 5. Проверка: y(1) = 3, y(5) = 25 − 30 + 8 = 3.

10. Первый даёт 7 и 7; второй — 7 и 11. Выбор подтверждается обеими подстановками.

11. Максимум 3 при x = 4. Равенство 1 даёт (x − 4)² = 1, откуда x = 3 и x = 5.

12. Квадратичная модель: 2·4 + 2 = 10 по краям, при нуле 2. Линейная при x = −2 даёт −6, а не 10.

13. Второй. Можно предложить y = 5, а также y = 5 + (x − 1)(x − 2)(x − 3). Совпадающие наблюдения не гарантируют вид функции вне точек.

Результат: 11–13 верных ответов — аргументация уверенная; 8–10 — повторите ось симметрии и проверку модели; 0–7 — ещё раз сравните линейную, постоянную и квадратичную зависимости. Не называйте модель доказанной по одному совпадению: сверяйте все точки.