Выбор верной схемы пропорции для планов помещений и мебели — диагностика ошибок, 6 класс

Проверяем утверждение: «Для любого плана можно записать пропорцию, просто поставив единицы около чисел». Это неверно. Для отношений длин обязательно нужно согласовать единицы и порядок: длина на плане относится к реальной длине так же, как 1 относится к знаменателю масштаба.

Почему схема должна работать

В масштабе 1 : 50 один сантиметр на плане обозначает 50 сантиметров в помещении. Поэтому если на плане отрезок p см, а в натуре соответствующий предмет имеет длину r см, выполняется p : r = 1 : 50. При вычислении неизвестной длины можно пользоваться перекрёстным умножением p · 50 = r, если p дано в сантиметрах.

Контрпример к неправильному рассуждению: «на плане 4 см, настоящая длина 2 м, значит 4 : 2 = 1 : 50». Формально 4 : 2 = 2, а 1 : 50 = 0,02, так что равенство ложно. После правильного перевода 2 м = 200 см получаем 4 : 200 = 1 : 50. Идея пропорции была правильной, а подстановка — нет.

Особые случаи, которые нельзя пропускать

• Размер на плане и соответствующий реальный размер измеряют в одинаковых единицах.
• Знаменатель масштаба больше 1 для уменьшенного чертежа; предмет на плане меньше, чем в действительности.
• При выборе схемы сохраняют один порядок: либо план : натура = 1 : k, либо натура : план = k : 1.
• Обе стороны прямоугольника уменьшают с одним коэффициентом; иначе форма мебели искажается.
• При переходе между масштабами настоящая длина остаётся прежней: меняется лишь отрезок на плане.

Диагностика: докажите или найдите ошибку

В заданиях 1–13 не ограничивайтесь ответом «верно» или «неверно». Приведите правильную схему пропорции, согласуйте сантиметры и метры, вычислите длину и объясните, в чём состояла ошибка или почему утверждение верно.

1. На плане 1 : 50 шкаф показан отрезком 8 см. Ученик написал «8 : 400 = 50 : 1». Верно ли это? Покажите правильную схему и реальную длину.
2. При масштабе 1 : 25 стол на плане имеет длину 6 см. Докажите, что 150 см — верный размер стола.
3. Комната имеет длину 5 м, масштаб плана 1 : 100. Какой длины должен быть отрезок на чертеже? Опровергните вариант 50 см.
4. Ширина сиденья стула 80 см. Для плана 1 : 20 выберите схему: А) x : 80 = 1 : 20; Б) 80 : x = 1 : 20. Найдите x.
5. Столешница 120 см на 60 см изображается в масштабе 1 : 30. Назовите размеры её прямоугольника на плане и объясните, почему масштаб одинаков для обеих сторон.
6. Кровать длиной 2 м на плане показана отрезком 8 см. Ученик утверждает, что масштаб равен 1 : 25. Докажите или опровергните.
7. У комнаты длина 3,6 м, её план выполнен 1 : 60. Ученик получил 60 см, разделив 360 на 6. Найдите ошибку и исправьте.
8. Шкаф шириной 1,8 м изображён на плане 1 : 30. Какой отрезок нужен? Почему запись 1,8 : 30 = 0,06 без единиц недостаточна?
9. Дверной проём 90 см отображён в масштабе 1 : 50. Выберите: А) 90 : x = 1 : 50; Б) x : 90 = 1 : 50. Сколько сантиметров на плане?
10. Диван длиной 2 м на плане занимает 5 см. Найдите фактический масштаб и опровергните предположение «1 : 4».
11. Стол 120 см был нарисован отрезком 4 см в масштабе 1 : 30. Его перечертили в масштабе 1 : 20. Найдите новый отрезок, не меняя реальный размер.
12. Две полки по 75 и 125 см изображены как 3 и 5 см. Докажите, что у них общий масштаб, и запишите его.
13. На плане 1 : 40 стол длиной 100 см и стул шириной 60 см должны быть показаны одинаковыми по длине отрезками. Обоснуйте, почему это невозможно.

Аргументированные решения

1. Неверно. Реальная длина 8 · 50 = 400 см = 4 м. Правильная схема: 8 : 400 = 1 : 50; отношение «план : натура» нельзя обращать только в правой части.
2. Длина в натуре 6 · 25 = 150 см = 1,5 м. Проверка равенства 6 : 150 = 1 : 25: 6 · 25 = 150 · 1 = 150.
3. 5 м = 500 см, на плане 500 : 100 = 5 см. Вариант 50 см означал бы масштаб 1 : 10, а не 1 : 100.
4. А, потому что x — сантиметры на плане. x = 80 : 20 = 4 см. Обратная проверка: 4/80 = 1/20; схема Б дала бы увеличение, а не уменьшение.
5. Длина 120 : 30 = 4 см, ширина 60 : 30 = 2 см. Обе стороны делят на 30, иначе форма и отношение сторон не сохранятся. Проверки: 4 : 120 = 2 : 60 = 1 : 30.
6. Утверждение верно. 2 м = 200 см; 8 : 200 = 1 : 25 после деления на 8. Сравнение 8 : 2 неверно, потому что оно смешивает сантиметры и метры.
7. Правильный знаменатель масштаба — 60, а не 6. 3,6 м = 360 см, поэтому 360 : 60 = 6 см на плане. 60 см соответствовали бы масштабу 1 : 6.
8. 1,8 м = 180 см, отрезок 180 : 30 = 6 см. Деление 1,8 : 30 действительно даёт 0,06 м, но это надо перевести в 6 см; число без единицы не описывает длину на плане.
9. Б, потому что в числителе плана должна стоять длина на чертеже. x = 90 : 50 = 1,8 см. Проверка: 1,8 : 90 = 1 : 50.
10. 2 м = 200 см; 5 : 200 = 1 : 40, поскольку 200 : 5 = 40. Масштаб 1 : 4 дал бы при 5 см только 20 см в натуре — слишком мало.
11. 120 : 20 = 6 см. Первый чертёж: 4 · 30 = 120 см; второй: 6 · 20 = 120 см. Неверно приравнивать 4 : 6 и 30 : 20, потому что первое отношение равно 2 : 3, второе — 3 : 2.
12. 75 : 3 = 25 и 125 : 5 = 25; обе настоящие длины больше чертёжных в 25 раз. Следовательно, верная единая схема 3 : 75 = 5 : 125 = 1 : 25.
13. На плане стол 100 : 40 = 2,5 см, стул 60 : 40 = 1,5 см. Они не равны, поскольку при одном масштабе различие истинных длин сохраняется: 100 : 60 = 2,5 : 1,5 = 5 : 3.

Что именно проверяет эта работа

Задания 1, 6 и 10 проверяют умение находить масштаб по известным длинам. Задания 3, 7, 8 выявляют проблемы с переводом единиц. Задания 4 и 9 требуют выбрать не просто числовую формулу, а правильный порядок членов пропорции. Задания 5, 11 и 13 проверяют постоянство масштаба на нескольких предметах; в заданиях 2 и 12 ученик доказывает правильность предложенного результата.

Обратите внимание на невозможность одинаковых отрезков для разных размеров при одном масштабе. Это качественная проверка: прежде чем вычислять, можно увидеть, что длинный предмет должен иметь на плане более длинный отрезок. Если получились равные отрезки, где настоящие размеры не равны, выбранная схема или единицы ошибочны.

Краткий алгоритм обратной проверки

Пусть на плане найдено x см при масштабе 1 : k. Умножаем x на k и сравниваем с реальной длиной в сантиметрах. Если вычислена реальная длина r см, делим её на k и сравниваем с данным отрезком на плане. Например, x = 6 см и k = 20 означают реальную длину 120 см; это подтверждает задачу 11.

При проверке самостоятельного объяснения учитель может использовать три критерия: записан верный порядок членов отношения, все длины приведены к одинаковым единицам, проверка относится к тому же предмету и масштабу, что и условие. Простое перечисление формул без объяснения порядка членов не считается полным доказательством.