Выборки одинакового объёма с разным средним значением: задачи и решения для 7 класса

Мини-тест для 7 класса. В каждой паре число наблюдений одинаковое. Вопрос не в том, насколько похожи числа, а в том, почему среднее значение может различаться при равном объёме выборок. Выполняйте задания по порядку: сначала быстрый выбор, затем вычисление и объяснение.

Проверка стартового навыка

Среднее арифметическое выборки = сумма всех наблюдений : их количество. Если обе выборки имеют по n элементов, то разность их средних равна разности сумм, делённой на n. Например, четыре оценки (6; 8; 10; 12) имеют сумму 36 и среднее 9; четыре оценки (5; 8; 11; 16) — сумму 40 и среднее 10. Хотя выборки равновелики, средние различаются.

Сначала определите, сколько чисел в каждой выборке; затем сложите наблюдения внутри каждой. Если чисел поровну, можно сперва сравнить суммы, а затем вычислить точную разницу средних. Все данные считаются одинаково значимыми: здесь нет весов и частот, заданных отдельно.

Часть I. Выбрать, вычислить, объяснить

1. Сравните две выборки по 4 наблюдений: A = (4; 6; 8; 10), Б = (3; 6; 8; 15). Вычислите оба средних и разницу между ними.
2. Сравните две выборки по 4 наблюдений: A = (12; 15; 18; 21), Б = (11; 14; 17; 26). У какой выборки больше среднее и на сколько?
3. Сравните две выборки по 5 наблюдений: A = (5; 5; 9; 9; 12), Б = (4; 7; 10; 10; 14). Можно ли судить о средних только по наибольшему числу? Проверьте вычислением.
4. Сравните две выборки по 3 наблюдений: A = (16; 19; 22), Б = (15; 20; 28). Вычислите оба средних и разницу между ними.
5. Сравните две выборки по 5 наблюдений: A = (2; 4; 7; 11; 16), Б = (3; 5; 8; 13; 18). У какой выборки больше среднее и на сколько?
6. Сравните две выборки по 4 наблюдений: A = (30; 32; 34; 36), Б = (27; 31; 35; 43). Можно ли судить о средних только по наибольшему числу? Проверьте вычислением.
7. Сравните две выборки по 4 наблюдений: A = (7; 11; 13; 17), Б = (8; 10; 12; 22). Вычислите оба средних и разницу между ними.
8. Сравните две выборки по 5 наблюдений: A = (20; 25; 30; 35; 40), Б = (18; 27; 33; 37; 45). У какой выборки больше среднее и на сколько?

Часть II. Необычные случаи

1. Сравните две выборки по 3 наблюдений: A = (6; 12; 18), Б = (9; 15; 24). Можно ли судить о средних только по наибольшему числу? Проверьте вычислением.
2. Сравните две выборки по 5 наблюдений: A = (14; 14; 18; 22; 27), Б = (13; 17; 19; 24; 28). Вычислите оба средних и разницу между ними.
3. Сравните две выборки по 4 наблюдений: A = (41; 45; 47; 51), Б = (40; 44; 49; 57). У какой выборки больше среднее и на сколько?
4. Сравните две выборки по 6 наблюдений: A = (3; 9; 12; 15; 21; 24), Б = (4; 8; 13; 17; 22; 26). Можно ли судить о средних только по наибольшему числу? Проверьте вычислением.
5. Выберите верное утверждение. Для двух выборок по 5 чисел суммы равны 75 и 90: (А) средние равны; (Б) второе среднее больше на 3; (В) второе больше на 15. Объясните выбор.
6. Две выборки содержат по 4 числа. У А среднее 12, у Б среднее 15. На сколько отличаются их суммы? Найдите обе суммы.
7. В выборке из 6 чисел одно наблюдение увеличили на 18, остальные не меняли. На сколько выросло среднее? Объясните, почему объём выборки важен.
8. Можно ли по одному только равенству объёмов утверждать, что средние выборок равны? Постройте контрпример из двух выборок по три числа.

Лист ответов

1. А: сумма 28, среднее 7; Б: сумма 32, среднее 8. Б больше на 1. Делитель общий — 4; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
2. А: сумма 66, среднее 16,5; Б: сумма 68, среднее 17. Б больше на 0,5. Делитель общий — 4; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
3. А: сумма 40, среднее 8; Б: сумма 45, среднее 9. Б больше на 1. Делитель общий — 5; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
4. А: сумма 57, среднее 19; Б: сумма 63, среднее 21. Б больше на 2. Делитель общий — 3; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
5. А: сумма 40, среднее 8; Б: сумма 47, среднее 9,4. Б больше на 1,4. Делитель общий — 5; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
6. А: сумма 132, среднее 33; Б: сумма 136, среднее 34. Б больше на 1. Делитель общий — 4; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
7. А: сумма 48, среднее 12; Б: сумма 52, среднее 13. Б больше на 1. Делитель общий — 4; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
8. А: сумма 150, среднее 30; Б: сумма 160, среднее 32. Б больше на 2. Делитель общий — 5; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
9. А: сумма 36, среднее 12; Б: сумма 48, среднее 16. Б больше на 4. Делитель общий — 3; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
10. А: сумма 95, среднее 19; Б: сумма 101, среднее 20,2. Б больше на 1,2. Делитель общий — 5; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
11. А: сумма 184, среднее 46; Б: сумма 190, среднее 47,5. Б больше на 1,5. Делитель общий — 4; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
12. А: сумма 84, среднее 14; Б: сумма 90, среднее 15. Б больше на 1. Делитель общий — 6; сравнение сумм даёт тот же порядок средних.
13. Б: 90 : 5 − 75 : 5 = 18 − 15 = 3. Число 15 — разность сумм, а не средних.
14. Суммы: 12 · 4 = 48 и 15 · 4 = 60; разность 60 − 48 = 12. Величины сохраняют единицу исходных наблюдений.
15. 18 : 6 = 3. Добавка 18 распределяется между шестью слагаемыми при вычислении среднего.
16. Нет. Например, А = (1; 2; 3), среднее 2; Б = (2; 4; 6), среднее 4. Одинаковый объём не гарантирует одинаковые суммы.

Три спорных места — разбор ошибок

Ошибка 1 — сравнивать только максимумы. Если в Б одно очень большое число, это ещё не доказывает, что её среднее больше. В среднее входят все наблюдения. Например, максимумы 12 и 18 могут сочетаться с совершенно разными суммами.

Ошибка 2 — забывать деление. Разность сумм 15 у двух пятёрок наблюдений означает разность средних 3, а не 15. Число измерений обязано участвовать в вычислении.

Ошибка 3 — сравнивать несопоставимые показатели. Среднее и диапазон значений отвечают на разные вопросы. Два набора могут иметь одинаковое среднее и разный размах; в этой карточке все задания направлены именно на сравнение средних.

Самопроверка. За каждое задание — 1 балл, всего 16. В заданиях, где просят объяснение, ответ без указания делителя или логики сравнения считается неполным. Если ответы отличаются, перепроверьте суммы по отдельности, а затем деление.