Вычисление внутреннего угла правильного многоугольника — практикум с ответами для 9 класса

Геометрическое исследование. Как меняется один внутренний угол, если у правильного многоугольника увеличивается число сторон? Не подставляйте числа наугад: сначала найдите формулу и проверьте её по уже знакомым фигурам.

Наблюдение: треугольники внутри фигуры

Проведите из одной вершины выпуклого n-угольника все диагонали к несоседним вершинам. Получится n−2 треугольника. Сумма внутренних углов многоугольника равна 180°(n−2). У правильного многоугольника все внутренние углы равны; значит, каждый равен α = 180°(n−2)/n = 180° − 360°/n, где n — целое число не меньше 3.

Для треугольника получаем 60°, для квадрата 90°, для правильного шестиугольника 120°. С увеличением n вычитаемая доля 360°/n уменьшается, поэтому внутренний угол растёт, но остаётся меньше 180°. Это гипотеза, которую проверим без чертежа и без округления.

Проверка гипотезы на примерах

Обратите внимание: правильный семиугольник не обязан иметь угол, выражаемый целым числом градусов. Точный ответ можно записать дробью; приближать его без указания точности не нужно.

Практикум: задания 1–12

Для каждой фигуры запишите формулу, вычислите сумму углов и затем величину одного угла.

1. Правильный 3-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.
2. Правильный 4-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.
3. Правильный 5-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.
4. Правильный 6-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.
5. Правильный 7-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.
6. Правильный 8-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.
7. Правильный 9-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.
8. Правильный 10-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.
9. Правильный 12-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.
10. Правильный 15-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.
11. Правильный 18-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.
12. Правильный 24-угольник: найдите один внутренний угол α. Укажите точное значение.

Обратные вопросы: задания 13–18

13. Внутренний угол равен 140°. Найдите число сторон.
14. Внутренний угол равен 156°. Найдите n.
15. Может ли правильный многоугольник иметь внутренний угол 100°?
16. Сравните внутренние углы правильных 12- и 18-угольников.
17. Найдите внутренний угол правильного многоугольника, если сумма всех его внутренних углов равна 2520°.
18. Почему нельзя считать каждый угол равным 180(n−2)°?

Ответы с вычислениями

13. 13. n = 360/(180−140) = 9; число сторон целое и ≥ 3.
14. 14. n = 360/(180−156) = 15.
15. 15. Нет: n = 360/(180−100) = 4,5, а число сторон должно быть целым.
16. 16. 150° и 160°: угол 18-угольника больше на 10°, потому что 360/18 меньше 360/12.
17. 17. 180(n−2)=2520, значит n=16, угол = 2520/16=157,5°.
18. 18. 180(n−2)° — сумма всех n внутренних углов, а один угол правильного многоугольника в n раз меньше.

Вывод и критерии

Внутренний угол находится по числу сторон, а не по длине стороны и не по радиусу описанной окружности. Правильность можно проверить двумя независимыми путями: через разбиение на n−2 треугольника и через сумму внутреннего и смежного внешнего угла, равную 180°. Второй способ — контроль результата, но основной вывод выше основан на триангуляции.

Проверка ответа по свойствам: n должно быть целым и ≥ 3; внутренний угол должен находиться в пределах от 60° включительно до 180° не включительно. Если вычислен угол 185° или n=4,5, проверьте условие: правильного выпуклого многоугольника с такими данными не существует.

За каждую правильную строку вычисления ставьте 1 балл; за объяснение невозможности в № 15 — ещё 1 балл. Ошибка «вычислил сумму вместо одного угла» считается принципиальной: повторите деление на n.

Проверка гипотезы для любого n

Чтобы подтвердить, что угол растёт при увеличении числа сторон, сравните α(n) = 180°−360°/n и α(n+1) = 180°−360°/(n+1). Их разность равна 360°/[n(n+1)] — положительному числу, ведь n ≥ 3. Это не просто рисунок: вывод точен для любого числа сторон правильного выпуклого многоугольника. В то же время α всегда меньше 180°: прибавлять стороны можно сколько угодно, но достичь развёрнутого угла у конечного многоугольника нельзя.

Рассмотрим правильный семиугольник подробнее. Из одной вершины получатся пять треугольников: сумма внутренних углов равна 5·180° = 900°. Каждый из семи углов равен 900/7°, то есть 128 и 4/7 градуса. Если поспешно округлить до 129°, то семь таких округлённых углов дали бы 903°, что нарушает исходную сумму. Поэтому точная дробь важнее «красивого» целого числа. У правильного девятиугольника сумма 1260°, и один угол составляет 140° без остатка.

Как отличать две обратные задачи

Задача по сумме: известно, что сумма углов равна 2520°. Уравнение 180(n−2)=2520 даёт n=16. Задача по одному углу: известна величина 156°. Уравнение 180−360/n=156 даёт 360/n=24 и n=15. Нельзя подставлять отдельный угол вместо суммы — это две разные величины. После нахождения n всегда вернитесь к исходной формуле, проверьте результат и убедитесь, что n целое и не меньше трёх.

В задачах про правильные многоугольники слово «правильный» означает одновременно равенство всех сторон и всех внутренних углов. Для произвольного выпуклого n-угольника верна формула суммы 180(n−2), но делить её на n и считать полученное значение каждым углом нельзя: можно получить лишь средний угол. Если на рисунке дан неправильный пятиугольник, знание одной только суммы 540° не определяет любой из пяти углов.

Для самостоятельной проверки: объясните без новых вычислений, почему правильный десятиугольник имеет больший внутренний угол, чем правильный восьмиугольник; почему внутренний угол треугольника минимален среди правильных выпуклых многоугольников; почему у правильного многоугольника не может быть внутреннего угла ровно 180°. Эти вопросы проверяют понимание формулы, а не скорость счёта.

Числовой пример с дробным углом

Попробуйте самостоятельно решить задачу для правильного 28-угольника. Сумма углов равна 180·26=4680°. Один угол составляет 4680/28=1170/7°, то есть 167 и 1/7 градуса. По другой формуле: 180°−360°/28=180°−90/7°=1170/7°. Совпадение результатов подтверждает оба способа. Заменять 167 и 1/7° на «около 167°» разрешено лишь там, где прямо спрашивают приближённое значение.

Следующее задание на проверку условий: ученик получил 162° и заявил, что это угол правильного 19-угольника. Проверяем: 180°−162°=18°, так что число сторон должно равняться 360/18=20. Следовательно, такой угол есть у правильного 20-угольника, а заявление о 19 сторонах неверно. Обратите внимание на логику: одного вычисленного угла достаточно, чтобы восстановить число сторон, если фигура действительно правильная.

Три устных вопроса перед оценкой работы

Почему в квадрате внутренний угол равен 90°, хотя сумма углов квадрата равна 360°? Потому что сумма распределяется поровну между четырьмя вершинами. Почему нельзя вычислить один угол неправильного пятиугольника по формуле 540°/5? Потому что это было бы среднее, а отдельные углы могут отличаться. Почему число сторон обязательно должно быть целым? В геометрии нельзя построить многоугольник с половиной стороны: n — натуральное число, не меньше трёх.