Вычитание многочленов со сменой знаков — мини-тест с разбором для 7 класса

Уровень: 7 класс. Заданий: 16. Мини-тест на раскрытие скобок после минуса. Условия даны отдельно от ключа; два разобранных примера перед заданиями не входят в зачёт.

Правило в одной строке

Если перед скобкой стоит минус, при её снятии каждый знак внутри меняется на противоположный. Например: A − (b − c + d) = A − b + c − d. Первую скобку, перед которой стоит плюс или ничего нет, можно раскрыть без смены знаков.

Два разобранных примера

Пример 1. (7x + 4) − (2x − 3) = 7x + 4 − 2x + 3 = 5x + 7. Ошибка «−3 вместо +3» возникла бы, если забыть минус перед скобкой.

Пример 2. (3a² − 2a + 1) − (−a² + 4a − 5) = 3a² − 2a + 1 + a² − 4a + 5 = 4a² − 6a + 6. Минус умножается на каждый из трёх членов второго многочлена.

Самостоятельный тренажёр

Раунд A — проверь смену знака

1. (5x + 4) − (2x + 1).
2. (7a − 3) − (a + 5).
3. (3y + 2) − (5y − 6).
4. (4m − 7) − (m − 2).

Раунд Б — степени и несколько букв

5. (2x² + 3x) − (x² − x).
6. (6p² − 2p + 1) − (2p² + 3p − 4).
7. (3a − 4b + 5) − (a + 2b − 7).
8. (x² − 5x + 2) − (−2x² + x − 3).

Раунд В — внимательность к отрицательным членам

9. (5u − v) − (2u − 3v).
10. (2r² + 3r − 1) − (4r² − r + 6).
11. (a² + ab − b²) − (2a² − ab + b²).
12. (3x³ − x² + 4) − (x³ + 2x² − 5).

Раунд Г — рассуждение и проверка

13. Найдите многочлен P, если P − (2x + 1) = 3x − 4.
14. Упростите (4x² + 2x) − (x² − 3x + 1) и вычислите результат при x = 2.
15. Ученик написал: (6x − 2) − (2x − 5) = 4x − 7. Исправьте ответ и назовите допущенную ошибку.
16. Упростите (2s² − 3s + 1) − (s² + 4s − 5). Проверьте результат при s = 1.

Как грамотно исправлять типовые ошибки

Самая частая ошибка возникает при втором члене в вычитаемом. Например, (3x + 2) − (5x − 6) сначала превращается в 3x + 2 − 5x + 6 и только потом в −2x + 8. Если написать 3x + 2 − 5x − 6, вы фактически вычтете 5x + 6, а это другой многочлен. Проверьте, что все знаки во второй скобке сменились одновременно.

Если второй многочлен содержит отрицательный старший член, знак тоже меняется. Так, в задании 8 выражение −(−2x² + x − 3) даёт +2x² − x + 3. Ошибочно оставлять −2x² или +x после раскрытия. После этого нужно сложить получившиеся подобные члены с теми, что стояли в первом многочлене.

В случае двух переменных не объединяйте разные буквенные части. В выражении (5u − v) − (2u − 3v) получаем 5u − v − 2u + 3v. Объединяем отдельно u и отдельно v: 3u + 2v. Вывод не зависит от того, какими буквами обозначены переменные: a, b или m, n.

Проверка мини-теста без подглядывания в ответы

Пройдите задания 1–4 письменно за один короткий подход, затем проверьте каждый ответ, подставив ноль вместо переменной. Нулевая подстановка сразу определяет правильность свободного члена. Для первого задания (5x + 4) − (2x + 1) при x = 0 должно получиться 4 − 1 = 3. Если свободный член ответа другой, ошибка возникла ещё до приведения подобных.

После второго раунда выберите одну ненулевую подстановку, например x = 1 или p = 2. Проверяйте обе формы независимо: сначала численно посчитайте исходные скобки, затем значение полученного ответа. Если числа не равны, тождества нет. Такой способ хорош для поиска ошибок, хотя одна удачная подстановка сама по себе не доказывает правильность каждого коэффициента.

Третья карточка включает не только одни и те же буквы, но и степени. При вычитании x² и 2x² нужно вычитать коэффициенты: x² − 2x² = −x². При этом x² и x³ нельзя складывать или вычитать как подобные. Знак разности может стать отрицательным — это совершенно допустимо для коэффициента многочлена.

Последние задания проверяют понимание обратной операции и проверки вычислений. Если P − Q = R, то неизвестный P находится как R + Q. В задании 13 это означает (3x − 4) + (2x + 1) = 5x − 3. Для задания 14 важно выполнить сначала вычитание многочленов, а затем подставить x = 2, а не подставлять число в отдельные слагаемые и терять скобки.

Как оценивать: за каждое из заданий 1–12 можно ставить по одному баллу; за 13–16 — до двух, если ученик объяснил проверку. Выбирайте объём карточки по программе класса: одни учебники вводят степени раньше, другие позже. Мини-тест рассчитан на этап, когда понятия многочлена и подобных членов уже изучены.

Ключ для учителя и самостоятельной проверки

Ответы находятся после заданий. Для печати только ученической части выделите текст до разделительной линии и распечатайте выделенное.

1. 3x + 3: 5x + 4 − 2x − 1.
2. 6a − 8: 7a − 3 − a − 5.
3. −2y + 8: 3y + 2 − 5y + 6.
4. 3m − 5: 4m − 7 − m + 2.
5. x² + 4x: 2x² + 3x − x² + x.
6. 4p² − 5p + 5: 6p² − 2p + 1 − 2p² − 3p + 4.
7. 2a − 6b + 12: 3a − 4b + 5 − a − 2b + 7.
8. 3x² − 6x + 5: второй многочлен меняет знаки полностью.
9. 3u + 2v: −v + 3v = 2v.
10. −2r² + 4r − 7.
11. −a² + 2ab − 2b².
12. 2x³ − 3x² + 9.
13. P = 5x − 3; прибавьте 2x + 1 к обеим частям.
14. 3x² + 5x − 1; при x = 2 значение 12 + 10 − 1 = 21.
15. Верно 4x + 3: минус перед −5 даёт +5, а не −5.
16. s² − 7s + 6; при s = 1 получаем 1 − 7 + 6 = 0.

Разбор ошибок после проверки

Ошибка одного знака. В записи (a − 2) − (b − 5) нельзя менять знак только у b. Корректно a − 2 − b + 5 = a − b + 3. Отметьте в каждом неверном решении минус перед всей второй скобкой.

Ошибка похожих букв. 2ab и 2a² не подобны, а член ab отличается от a и b. В ответе 11 есть три отдельные группы: a², ab и b².

Проверка подстановкой. В ответе 15 при x = 0 исходное выражение (−2) − (−5) равно 3. Ошибочный ответ 4x − 7 дал бы −7: подстановка сразу выявляет проблему. Если одна проверка совпала, полезно испытать ещё x = 1.

Практический совет: проверяйте в два прохода: сначала знаки после раскрытия скобок, затем приведение подобных членов. Такая процедура обычно надёжнее, чем выполнение всех действий устно.