Выделение общего знаменателя из трёх двучленов: задания от простого к сложному, 8 класс

Печатный рабочий лист, 8 класс. В каждом примере нужно найти наименьший общий знаменатель трёх рациональных дробей со знаменателями-двучленами. Не обязательно складывать дроби: цель — разложить задачу на три дополнительные множителя и исключить нули знаменателей.

Пример заполнения бланка

Множители не складывают: знаменатели x+2 и x+5 различны, а повторяющийся x+2 требуется в общем знаменателе один раз. Для знаменателя x+2 дополнительным множителем будет x+5. Если одинаковые двучлены встречаются дважды, им соответствует одинаковый дополнительный множитель.

Вариант I — 9 заданий

1. 2/(x+1) + 3/(x+3) − 1/(x+5). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
2. 2/(x+2) + 3/(x+6) − 1/(x+8). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
3. 2/(x+3) + 3/(x+4) − 1/(x+3). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
4. 2/(x+4) + 3/(x+7) − 1/(x+2). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
5. 2/(x+5) + 3/(x+5) − 1/(x+9). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
6. 2/(x+6) + 3/(x+2) − 1/(x+11). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
7. 2/(x+1) + 3/(x+6) − 1/(x+4). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
8. 2/(x+8) + 3/(x+10) − 1/(x+7). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
9. 2/(x+9) + 3/(x+1) − 1/(x+9). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.

Проверка ученика: все три дроби должны приводиться к указанному НОЗ; множитель нужно умножить и на числитель, и на знаменатель. При подстановке x=0 весь НОЗ в этих заданиях не равен нулю, но это не заменяет полноценную запись ОДЗ.

Вариант II — 9 независимых заданий

10. 2/(x+2) + 3/(x+5) − 1/(x+7). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
11. 2/(x+3) + 3/(x+8) − 1/(x+8). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
12. 2/(x+4) + 3/(x+6) − 1/(x+9). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
13. 2/(x+6) + 3/(x+1) − 1/(x+10). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
14. 2/(x+7) + 3/(x+3) − 1/(x+7). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
15. 2/(x+8) + 3/(x+4) − 1/(x+12). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
16. 2/(x+9) + 3/(x+2) − 1/(x+5). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
17. 2/(x+10) + 3/(x+7) − 1/(x+10). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.
18. 2/(x+11) + 3/(x+6) − 1/(x+3). Укажите наименьший общий знаменатель, три дополнительных множителя и ОДЗ. Место для ответа: ___________________.

Ответы и пояснения к обоим вариантам

1. НОЗ: (x+1)·(x+3)·(x+5); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+3)·(x+5), (x+1)·(x+5), (x+1)·(x+3). ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −3, x ≠ −5. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
2. НОЗ: (x+2)·(x+6)·(x+8); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+6)·(x+8), (x+2)·(x+8), (x+2)·(x+6). ОДЗ: x ≠ −2, x ≠ −6, x ≠ −8. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
3. НОЗ: (x+3)·(x+4); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+4), (x+3), (x+4). ОДЗ: x ≠ −3, x ≠ −4. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
4. НОЗ: (x+4)·(x+7)·(x+2); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+7)·(x+2), (x+4)·(x+2), (x+4)·(x+7). ОДЗ: x ≠ −4, x ≠ −7, x ≠ −2. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
5. НОЗ: (x+5)·(x+9); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+9), (x+9), (x+5). ОДЗ: x ≠ −5, x ≠ −9. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
6. НОЗ: (x+6)·(x+2)·(x+11); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+2)·(x+11), (x+6)·(x+11), (x+6)·(x+2). ОДЗ: x ≠ −6, x ≠ −2, x ≠ −11. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
7. НОЗ: (x+1)·(x+6)·(x+4); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+6)·(x+4), (x+1)·(x+4), (x+1)·(x+6). ОДЗ: x ≠ −1, x ≠ −6, x ≠ −4. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
8. НОЗ: (x+8)·(x+10)·(x+7); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+10)·(x+7), (x+8)·(x+7), (x+8)·(x+10). ОДЗ: x ≠ −8, x ≠ −10, x ≠ −7. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
9. НОЗ: (x+9)·(x+1); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+1), (x+9), (x+1). ОДЗ: x ≠ −9, x ≠ −1. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
10. НОЗ: (x+2)·(x+5)·(x+7); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+5)·(x+7), (x+2)·(x+7), (x+2)·(x+5). ОДЗ: x ≠ −2, x ≠ −5, x ≠ −7. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
11. НОЗ: (x+3)·(x+8); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+8), (x+3), (x+3). ОДЗ: x ≠ −3, x ≠ −8. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
12. НОЗ: (x+4)·(x+6)·(x+9); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+6)·(x+9), (x+4)·(x+9), (x+4)·(x+6). ОДЗ: x ≠ −4, x ≠ −6, x ≠ −9. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
13. НОЗ: (x+6)·(x+1)·(x+10); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+1)·(x+10), (x+6)·(x+10), (x+6)·(x+1). ОДЗ: x ≠ −6, x ≠ −1, x ≠ −10. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
14. НОЗ: (x+7)·(x+3); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+3), (x+7), (x+3). ОДЗ: x ≠ −7, x ≠ −3. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
15. НОЗ: (x+8)·(x+4)·(x+12); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+4)·(x+12), (x+8)·(x+12), (x+8)·(x+4). ОДЗ: x ≠ −8, x ≠ −4, x ≠ −12. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
16. НОЗ: (x+9)·(x+2)·(x+5); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+2)·(x+5), (x+9)·(x+5), (x+9)·(x+2). ОДЗ: x ≠ −9, x ≠ −2, x ≠ −5. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
17. НОЗ: (x+10)·(x+7); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+7), (x+10), (x+7). ОДЗ: x ≠ −10, x ≠ −7. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.
18. НОЗ: (x+11)·(x+6)·(x+3); дополнительные множители к первой, второй, третьей дробям: (x+6)·(x+3), (x+11)·(x+3), (x+11)·(x+6). ОДЗ: x ≠ −11, x ≠ −6, x ≠ −3. Дублирующийся двучлен в НОЗ достаточно записать один раз.

Критерии

Максимум по варианту — 27 баллов. Нельзя складывать дроби «по знаменателям»: 1/(x+2)+1/(x+5) не равно 2/(2x+7). Если НОЗ найден верно, но исходный x=−5 не исключён, решение считается неполным.

Знаменатели в этом листе — линейные множители вида x+c с коэффициентом 1 при x. При множителях 2x+2 и x+1 сначала следует выделять числовой коэффициент 2; такая разновидность задачи требует отдельной работы с коэффициентами и здесь не подменяет основной навык.