Вынесение минуса перед группой слагаемых — карточки с ответами, 7 класс

Главная операция этой карточки — вынести общий множитель −1 перед целой группой слагаемых. При вынесении минуса каждый знак внутри новой скобки меняется: −a+b−c=−(a−b+c). Это равенство работает для любых значений букв. В длинных примерах важно выбирать всю группу, а не одно слагаемое.

Что происходит со знаками и почему

Распределительный закон говорит: (−1)(a+b−c)=−a−b+c. Поэтому в обратном направлении −a−b+c=−(a+b−c). Если перед скобкой стоит другое выражение, например t−a+b, то можно сгруппировать последние члены: t−(a−b). Но равенство t−(a+b) было бы ошибкой: оно раскрывается в t−a−b.

Пограничные случаи. Коэффициент 1 часто не пишут: −x означает −1×x. Нулевое слагаемое не нарушает тождества. Два минуса перед скобкой взаимно уничтожаются: −(−a+b)=a−b. Если слагаемое отрицательное числом, например −(−5)=5. Не путайте вынесение −1 с умножением всей строки на −1: значение выражения должно сохраняться.

Уровень I. Снимите общий минус или поставьте скобку

1. Перепишите −a−b, поставив минус перед одной подходящей скобкой, но не меняя значения.
2. Перепишите −x+y, поставив минус перед одной подходящей скобкой, но не меняя значения.
3. Перепишите −m+n−k, поставив минус перед одной подходящей скобкой, но не меняя значения.
4. Перепишите −2p−5q, поставив минус перед одной подходящей скобкой, но не меняя значения.
5. Перепишите −3t+8, поставив минус перед одной подходящей скобкой, но не меняя значения.
6. Перепишите −7+4z, поставив минус перед одной подходящей скобкой, но не меняя значения.
7. Перепишите u−v−w, поставив минус перед одной подходящей скобкой, но не меняя значения.
8. Перепишите 2r−3s+4t, поставив минус перед одной подходящей скобкой, но не меняя значения.

Уровень II. После приведения подобных запишите ответ с внешним минусом

9. Преобразуйте (x+4)−(2x−3) и выделите общую скобку со знаком минус.
10. Преобразуйте 5a−(2a+3b) и выделите общую скобку со знаком минус.
11. Преобразуйте −2x+3y−4z и выделите общую скобку со знаком минус.
12. Преобразуйте p−2q+3r−4s и выделите общую скобку со знаком минус.
13. Преобразуйте 6m−(9m−2n) и выделите общую скобку со знаком минус.
14. Преобразуйте 2(a+b)−3(a+b) и выделите общую скобку со знаком минус.
15. Преобразуйте −(r−s)−(s−t) и выделите общую скобку со знаком минус.
16. Преобразуйте 7x−(9x+5) и выделите общую скобку со знаком минус.

Уровень III. Вложенные скобки и контроль равенства

17. Преобразуйте a−b+c−d. Полученный многочлен запишите как выражение с внешним минусом; укажите промежуточный шаг.
18. Преобразуйте −x+2y−3z+4. Полученный многочлен запишите как выражение с внешним минусом; укажите промежуточный шаг.
19. Преобразуйте 3p−(p−2q)−5q. Полученный многочлен запишите как выражение с внешним минусом; укажите промежуточный шаг.
20. Преобразуйте 2x−[3x−(y−4)]. Полученный многочлен запишите как выражение с внешним минусом; укажите промежуточный шаг.
21. Преобразуйте −(a−2b)−(3b−2a). Полученный многочлен запишите как выражение с внешним минусом; укажите промежуточный шаг.
22. Преобразуйте 5u−(2u−v)−(4u+3v). Полученный многочлен запишите как выражение с внешним минусом; укажите промежуточный шаг.
23. Преобразуйте −(3m−4n)+2(m−n). Полученный многочлен запишите как выражение с внешним минусом; укажите промежуточный шаг.
24. Преобразуйте 4(a−b)−[5a−(b+c)]. Полученный многочлен запишите как выражение с внешним минусом; укажите промежуточный шаг.

Полный ключ к 24 заданиям

Почему «вынести минус» — не то же самое, что поменять знак результата

Вынесение −1 перед скобкой сохраняет значение выражения. Пример: −2+7=5 и −(2−7)=−(−5)=5. Но −(−2+7)=−5 — уже противоположное число, не исходное выражение. Чтобы различить эти действия, раскройте предложенную скобку обратно. Получается ровно исходная строка — преобразование верно; хотя бы один знак не совпал — найдите место ошибки.

При длинном примере полезно подчеркнуть группу, из которой выносится минус. В задании 20 легче сначала раскрыть внутреннюю скобку, а уже затем вынести общий минус. В заданиях 21 и 24 появляются квадратные скобки — математически они означают обычную группировку, порядок раскрытия от внутренних к внешним остаётся тем же.

Самопроверка. 1 балл за каждую правильно полученную скобку; для уровня III добавьте 1 балл за объяснение промежуточных знаков. Все равенства — тождества для любых значений букв: знаменателей и извлечения корней нет. Если вы хотите проверить численно, выбирайте в примере не только положительные, но и отрицательные значения. Числовая проверка помогает заметить описку, но общее доказательство следует из распределительного закона.

Проверка сложных преобразований без угадывания

Для задания 19 действие «сначала убрать скобки» надёжнее, чем угадывание минуса: 3p−(p−2q)−5q=3p−p+2q−5q=2p−3q. Теперь нужная форма получается одним шагом: −(3q−2p). Если попытаться сразу сделать запись −(p−2q) без контроля внешнего минуса, можно потерять 2q. Рекомендуется писать промежуточную строку даже при устном вычислении.

В задании 22 действуют два отрицания: −(a−2b)−(3b−2a). Раскрывая по одному, получаем −a+2b−3b+2a, после приведения подобных — a−b. Чтобы внести всю сумму в скобки с минусом, поменяйте знаки двух членов: −(b−a). Проверка через обратное раскрытие не требует никаких подстановок.

В задании 24 удобно проверить результат двумя независимыми способами. Первый: раскрыть скобки и привести подобные до −a−3b+c. Второй: из ответа −(a+3b−c) получить тот же многочлен. Совпадение обеих записей при произвольных a, b, c — доказательство. При желании проверьте при a=1, b=−2, c=3: оба выражения равны 8. Такое числовое совпадение подтверждает вычисления, но не заменяет тождественного преобразования.

Памятка по разметке групп

Внутри новых скобок важно писать ровно те же переменные и коэффициенты, что и в исходной группе; вы меняете только знаки. Если после вынесения минуса пропадает один член или меняется его показатель степени, это уже не равносильное преобразование. Учитель может оценивать не внешний вид ответа, а равенство двух раскрытых выражений: например, −(3b−3a) и 3a−3b одинаково верны. Запись же −3(a+b) вместо −(3a−3b) изменила бы знак при b и потому неверна.

Самостоятельно придумайте контрольное числовое значение, например все буквы равны 1, затем измените знак одной из них. Проверка на двух наборах быстрее обнаружит пропуск минуса, чем контроль только положительными значениями. Но полная уверенность возникает после алгебраического раскрытия скобок в обратном направлении.