Высота треугольника и положение основания для 7 класса — упражнения с решениями

Геометрическая лаборатория · 7 класс. На работу 30–40 минут. Имя ученика: ____________________ Дата: ___________

Печатный разбор положения основания высоты; задания с координатами не требуют темы скалярного произведения.

Быстрый старт: высота — не всегда «внутри»

Высота треугольника — перпендикуляр из вершины к прямой, на которой лежит противоположная сторона. Основание высоты — точка пересечения с этой прямой. Отрезок стороны при необходимости продолжают. Поэтому основание может попасть внутрь стороны, совпасть с вершиной или оказаться на продолжении. Высоту нельзя узнавать только по тому, насколько вертикально она выглядит на рисунке.

Три положения основания высоты: подробный разбор

Основание внутри стороны. Представь BC горизонтально, а A над точкой между B и C. Перпендикуляр из A пересекает отрезок BC между его концами. Так можно нарисовать остроугольный треугольник. В тупоугольном треугольнике, если высоту опускают именно из тупой вершины к противолежащей стороне, её основание тоже лежит на отрезке.

Основание в вершине. Если AB перпендикулярно BC, угол B прямой. Высота из A к прямой BC совпадёт с AB, и её основанием будет B. Высота из C к прямой AB совпадёт с BC — снова основание B. Эти совпадения не означают, что у треугольника только одна или две высоты: определённых по вершинам высот по-прежнему три.

Основание на продолжении. На горизонтальном основании B(0; 0) и C(5; 0) возьми вершину A(−2; 3). Вертикальный перпендикуляр приходит в H(−2; 0). Точка H находится левее B, то есть вне отрезка BC, однако AH всё равно высота, так как AH перпендикулярно прямой BC. Здесь удобно пользоваться линейкой, чтобы продлить сторону, а не пытаться наклонить высоту к ближайшему концу отрезка.

Как по координатам избежать неверного рисунка

В упражнениях с горизонтальной стороной BC задача заметно проще, чем при произвольном наклоне. Основание высоты из A получит координаты H(x_A; 0). Его положение можно определить сравнением x_A с x-координатами B и C. Например, для B(0; 0), C(5; 0): если x_A между 0 и 5, H внутри отрезка; если x_A = 0 или 5, H в его конце; если x_A меньше 0 или больше 5, H на продолжении.

Такая схема решает только задания, где BC горизонтальна. Для наклонной стороны нельзя автоматически заменить y на нуль; нужно строить перпендикуляр к самой прямой, а не обязательно к координатной оси. Этот принцип важен при любом чертеже, даже если треугольник повернули или перевернули.

Проверка чертежа по трём признакам

У правильно построенной высоты: (1) один конец лежит в выбранной вершине, (2) другой конец лежит на прямой противоположной стороны, (3) угол между высотой и этой прямой равен 90°. Два признака без третьего недостаточны. Например, медиана тоже начинается в вершине и заканчивается на противоположной стороне, но не обязана быть перпендикулярной.

Для класса полезно сначала выполнить задания на определение вида треугольника устно, затем построить один остроугольный, один прямоугольный и один тупоугольный пример на бумаге. Только после этого переходить к координатам. Если ученик говорит «высота должна быть внутри», предложи ему задать A левее B: положение перпендикуляра становится очевидным без дополнительных формул.

Лист ученика: 26 самостоятельных заданий

Часть А. Узнай высоту без вычислений (1–8)

1. Дополни: высота из вершины A — это перпендикуляр к прямой, содержащей сторону ___.
2. Сколько высот имеет треугольник? Откуда проводится каждая?
3. В остроугольном ABC где расположены основания всех трёх высот?
4. В прямоугольном ABC (A = 90°) где основание высоты из B к AC?
5. В этом же прямоугольном ABC где основание высоты из C к AB?
6. Где лежит основание высоты из прямого угла A на BC?
7. В треугольнике с тупым углом A где лежит основание высоты из A на BC?
8. В том же тупоугольном треугольнике что может понадобиться продолжить для высоты из B?

Часть Б. Координаты и положение основания (9–15)

Для задач 9–15 сторона BC лежит на горизонтальной оси y = 0. Перпендикуляр из A опускается вертикально, поэтому основание H имеет ту же x-координату, что A, и y = 0. Корни и формулы расстояния не нужны.

9. Задано BC горизонтально: B(0; 0), C(5; 0), A(2; 4). Найди основание высоты из A.
10. B(0; 0), C(5; 0), A(−2; 3). Где основание высоты из A: на BC или за B?
11. B(0; 0), C(5; 0), A(7; 2). Где основание высоты из A?
12. B(0; 0), C(4; 0), A(4; 5). Найди основание высоты из A.
13. B(0; 0), C(5; 0), A(1; 3). Найди длину высоты из A в единичных клетках.
14. B(0; 0), C(6; 0), A(−3; 4). Найди длину высоты из A, хотя её основание вне BC.
15. B(0; 0), C(6; 0), A(3; −2). С какой стороны от оси Ox находится A и какова длина высоты?

Часть В. Задачи на рассуждение и ошибки (16–22)

16. Почему из условия «AD — высота» нельзя делать вывод BD = DC?
17. Почему из условия «AD — высота» нельзя всегда делать вывод ∠BAD = ∠DAC?
18. Ученик провёл из A отрезок до середины BC без прямого угла. Что он построил?
19. В остроугольном ABC из A к BC проведён перпендикуляр. Можно ли назвать его высотой?
20. В тупоугольном ABC высота из B упирается в продолжение AC. Ошибка ли это?
21. Треугольник ABC: ∠A = 90°. Сколько разных оснований высот могут совпасть с A?
22. Какая проверка транспортиром подтверждает, что отрезок AD является высотой?

Часть Г. Практический кейс и конструкция (23–26)

23. Практический план: нарисуй треугольник с горизонтальным BC и вершиной A строго левее B. Где будет основание высоты из A?
24. Для лестницы-пандуса нарисовали треугольник с горизонтальным полом BC и точкой A над полом. Как измерить вертикальную высоту?
25. Почему при построении высоты важно продолжать прямую BC, а не заменять её произвольной линией?
26. Составь пример координат A, B, C с горизонтальным BC, где основание высоты из A совпадает с C.

Ответы и доказательства

1. BC (или прямой BC).
2. Три: по одной из каждой вершины к прямой противоположной стороны.
3. На самих противоположных сторонах.
4. В точке A: AB перпендикулярна AC.
5. В точке A: AC перпендикулярна AB.
6. На стороне BC (гипотенузе), внутри неё.
7. На стороне BC, между B и C.
8. Прямую AC за точку A; основание высоты из B может оказаться на продолжении AC.
9. H(2; 0).
10. H(−2; 0), на продолжении BC за точкой B.
11. H(7; 0), на продолжении BC за точкой C.
12. H(4; 0) = C.
13. 3 единицы: от (1; 3) до H(1; 0).
14. 4 единицы: H(−3; 0), длина AH = 4.
15. Ниже оси Ox; AH = 2 единицы, H(3; 0).
16. Перпендикулярность не означает деление противоположной стороны пополам.
17. Высота задаёт прямые углы у основания, но не равенство частей угла A.
18. Медиану: отрезок из вершины к середине противоположной стороны.
19. Да, если отрезок идёт из A к прямой BC под углом 90°.
20. Нет: у тупоугольного треугольника основания двух высот лежат на продолжениях сторон.
21. Два основания: высоты из B и C заканчиваются в A.
22. Проверь ∠ADB = 90° (при D на прямой BC); перпендикулярность прямых AD и BC.
23. За точкой B, на продолжении прямой BC влево.
24. Провести из A перпендикуляр к прямой пола BC и измерить полученный отрезок, даже если его основание вне самого отрезка пола.
25. Высота обязана быть перпендикулярна именно прямой, содержащей противоположную сторону.
26. Например, B(0; 0), C(4; 0), A(4; 3): основание H(4; 0) совпадает с C.

Ученический контроль

Каждое правильное задание — 1 балл; для 16–20 и 23–26 без объяснения ставь половину балла. Всего 26 баллов. Не путай слова: медиана делит сторону пополам, биссектриса делит угол, высота образует 90° с прямой стороны. Эти три отрезка совпадают в отдельных симметричных ситуациях, но не в общем треугольнике.

Для самостоятельного чертежа используй линейку, угольник и бумагу в клетку. При проверке расположения основания не ориентируйся на «красивую» картинку: выясни, куда падает перпендикуляр к прямой основания.

Мини-разбор типичных школьных ошибок

Ошибка 1: «Любая линия вниз — высота». Вертикальное направление зависит от того, как расположен лист. Если сторона основания наклонена, искомая высота тоже будет наклонена относительно края бумаги. Прикладывай одну сторону угольника к прямой основания и только затем проводи перпендикуляр из нужной вершины.

Ошибка 2: «Высота обязана попасть на отрезок». Это верно для некоторых случаев, но не для всех. Возьми B(0; 0), C(4; 0), A(6; 2). Проекция из A попадёт в H(6; 0), правее C. Если соединить A с C вместо H, новый отрезок не будет перпендикулярен BC.

Ошибка 3: «Высота делит сторону пополам». Такое бывает, например, в равнобедренном треугольнике для высоты из вершины к основанию. Но в общем треугольнике нога перпендикуляра вовсе не обязана быть серединой. Чтобы проверить это утверждение, нужно отдельно доказать симметрию, а не ссылаться только на 90°.

При работе в парах один ученик строит прямую основания и отмечает вершину, второй объясняет, куда попадает перпендикуляр и почему. Затем они меняются ролями. Устное объяснение особенно полезно перед заданиями на координаты: численный ответ становится следствием чертежа, а не случайной догадкой.