Выявление ошибочного изменения знака с условием целочисленности ответа: тематические карточки для 8 класса

8 класс · Алгебра · Неравенства. Короткая диагностика: находить ошибки направления знака и отбирать только целочисленные решения после исправления неравенства.

Сразу проверьте себя: первые три контрольных вопроса

Решайте только в целых числах. Важны две ошибки: переворот знака в неверную сторону и случайное включение недопустимого целого на границе. Используйте знак Z для множества всех целых чисел; в заданиях с двумя условиями пересекайте ограничения.

1. № 1. −2x < 7. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.
2. № 2. −3x + 1 ≥ −8. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.
3. № 3. −4x − 3 ≤ 9. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.

Девять дополнительных задач с ограничениями

4. № 4. −5x + 4 > −6; x < 6. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.
5. № 5. −6x + 5 < 5; x ≤ 2. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.
6. № 6. −7x − 1 ≥ 13; x ≥ −3. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.
7. № 7. −8x + 2 ≤ −6; x < 0. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.
8. № 8. −9x − 4 > 14; x ≤ 1. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.
9. № 9. −10x + 7 < −8; x ≥ −1. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.
10. № 10. −11x + 5 ≥ −17; x ≤ 3. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.
11. № 11. −12x − 2 ≤ 22; x ≥ −4. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.
12. № 12. −13x + 3 > 29; x < −1. Решите при x ∈ Z. Укажите, в какой момент нужно изменить знак.

Быстрый ключ: точные границы и целые числа

1. № 1. После деления на −2: x > −7/2. Целочисленный ответ: {n ∈ Z: n ≥ −3}.
2. № 2. После деления на −3: x ≤ 3. Целочисленный ответ: {n ∈ Z: n ≤ 3}.
3. № 3. После деления на −4: x ≥ −3. Целочисленный ответ: {n ∈ Z: n ≥ −3}.
4. № 4. После деления на −5: x < 2; дополнительное ограничение x < 6. Целочисленный ответ: {n ∈ Z: n ≤ 1}.
5. № 5. После деления на −6: x > 0; дополнительное ограничение x ≤ 2. Целочисленный ответ: {1, 2}.
6. № 6. После деления на −7: x ≤ −2; дополнительное ограничение x ≥ −3. Целочисленный ответ: {−3, −2}.
7. № 7. После деления на −8: x ≥ 1; дополнительное ограничение x < 0. Целочисленный ответ: ∅.
8. № 8. После деления на −9: x < −2; дополнительное ограничение x ≤ 1. Целочисленный ответ: {n ∈ Z: n ≤ -3}.
9. № 9. После деления на −10: x > 3/2; дополнительное ограничение x ≥ −1. Целочисленный ответ: {n ∈ Z: n ≥ 2}.
10. № 10. После деления на −11: x ≤ 2; дополнительное ограничение x ≤ 3. Целочисленный ответ: {n ∈ Z: n ≤ 2}.
11. № 11. После деления на −12: x ≥ −2; дополнительное ограничение x ≥ −4. Целочисленный ответ: {n ∈ Z: n ≥ -2}.
12. № 12. После деления на −13: x < −2; дополнительное ограничение x < −1. Целочисленный ответ: {n ∈ Z: n ≤ -3}.

Пояснение к сложным пунктам

В задачах с ответами вида {n ∈ Z: n ≥ k} перечислять бесконечно много чисел не требуется: так записывают все допустимые целые от k и выше. Если одно условие требует x > 3, а второе x < 2, ответ пуст; если единственный общий кандидат лежит в открытой точке, его также исключают.

Для последней проверки возьмите одно подходящее целое число, а затем ближайшее неподходящее. Подстановка обоих в исходное неравенство выявляет пропущенный минус лучше, чем механическая смена стрелки. Любая найденная граница должна объясняться делением именно на отрицательный коэффициент, а не округлением результата.