Выявление ошибочного шага в доказательстве равенства треугольников: пошаговые задания для 7 класса

Геометрический аудит: две треугольные детали должны совпадать по форме и размеру. На чертежах обозначим соответствующие вершины A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Каждая строка ниже — выдержка из чужого доказательства. Нужно найти первый недопустимый шаг, объяснить, почему вывод не следует, и исправить доказательство либо сказать, каких сведений не хватает. Чертежи не считаются точными по виду.

Справочная таблица: чем разрешено доказывать равенство

Практический кейс: проверка чертежей двух рам

В мастерской сравнивают две треугольные рамы. Измерения заносят в таблицу, после чего ученик пишет «рамы одинаковы». Его вывод надо проверить логически: достаточны ли указанные данные, соответствует ли угол названным сторонам, не перепутано ли соответствие вершин? Сантиметры относятся к сторонам, градусы — к углам; складывать эти величины нельзя.

Двенадцать задач на выявление ошибочного шага

1. Пара I: проверьте все три элемента SAS. Достаточны ли данные?
2. Пара II: укажите первый ошибочный шаг «угол A лежит между AB и BC». Что следует записать вместо заявления о равенстве?
3. Пара III: по какому признаку доказано равенство? Найдите третий угол каждого треугольника.
4. Пара IV: нужен ли здесь какой-либо угол для доказательства? Назовите признак.
5. Пара V: докажите, что один равный угол не гарантирует равенства двух треугольников.
6. Пара VI: покажите, какой угол должен совпадать при данных сторонах AB, AC и DE, DF, чтобы применить SAS.
7. Пара VII: известно ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, BC = EF. Доказано ли равенство ABC и DEF?
8. Пара VIII: AB = DE = 4 см, AC = DF = 5 см, ∠A = ∠D = 0°. Можно ли получить невырожденные треугольники?
9. Пара IX: AB = DE = 6 см, BC = EF = 3 см, ∠B = ∠E = 80°. Можно ли применить SAS?
10. Пара X: AB = DE, BC = EF, AC = DF, но ученик требует ещё сравнить углы транспортиром. Прав ли он?
11. Пара XI: ∠A = ∠D и ∠B = ∠E. Ученик написал «равные треугольники по двум углам». Почему вывод недоказан?
12. Пара XII: AB = DE, AC = DF, ∠C = ∠F. Ученик написал «по двум сторонам и углу». Достаточно ли этих данных?

Дополнительная экспертиза: как исправить доказательство

После определения ошибки предложите минимальное достаточное дополнение. Для II достаточно добавить равенство включённых углов B и E; для VI — A и D; для XII — A и D при уже известных сторонах. Для V или XI сначала надо установить подходящие равенства сторон. Новые сведения нельзя «прочитать» с картинки: они должны быть выведены из условий или измерены как данные задачи.

Не путайте фактическую верность утверждения и достаточность доказательства. Даже если рамы на рисунке выглядят одинаковыми, неверный шаг делает доказательство неполным. Наоборот, после доказательства по SSS измерять оставшиеся углы необязательно.

Ключ ответов с объяснениями

1. 1. Да: AB ↔ DE и AC ↔ DF равны, угол A между AB, AC равен углу D между DE, DF. Срабатывает SAS.
2. 2. Неверно: стороны AB и BC сходятся при B, а не при A. Данных недостаточно для SAS; надо знать ∠B = ∠E, либо получить другое достаточное условие.
3. 3. Да, ASA: задана сторона AB и прилежащие к ней углы A и B. ∠C = ∠F = 180° − 50° − 60° = 70°.
4. 4. Нет, дополнительные углы не требуются: совпали все три соответствующие стороны, значит SSS.
5. 5. Нет. Например, можно построить треугольники с одним углом 40° и прилежащими к нему сторонами 3 и 4 см или 6 и 8 см: они имеют один равный угол, но их размеры различны.
6. 6. Нужно равенство ∠A = ∠D, то есть углов между AB, AC и DE, DF. Равенство углов B, E не заменяет включённый угол.
7. 7. Да: из равенства двух пар углов следует ∠C = ∠F. Тогда BC = EF — сторона между равными углами B, C и E, F. Можно применить ASA.
8. 8. Нет. Угол 0° не является внутренним углом невырожденного треугольника; условие противоречиво, сравнивать такие треугольники нельзя.
9. 9. Да: AB и BC сходятся при B, DE и EF — при E; углы B и E включённые. SAS корректен.
10. 10. Нет: SSS уже достаточно. Проверка углов измерением может быть практической, но не требуется для доказательства.
11. 11. Два равных угла устанавливают подобие, не равенство. Например, равносторонние треугольники со сторонами 3 и 5 см имеют одинаковые углы по 60°, но не равны.
12. 12. Нет: при данных парах AB/AC включён угол A, а указан угол C — он не между этими сторонами. Это случай двух сторон и не включённого угла; равенство не следует автоматически.

Критерии аудита и итог

Для каждой задачи выставляйте до 3 баллов (всего до 36). В задачах с неполными данными ответ «нельзя» без указания причины не засчитывается полностью. Сравните, какие из шести строк таблицы действительно доказаны: I, III, IV — доказаны; II, V, VI — недостаточны. Остальные случаи разобраны отдельно.