Взвешенное среднее двух наборов оценок: пошаговые задания для 8 класса

Как объединить средние двух групп оценок

Пусть в первой группе n оценок со средним a, во второй m оценок со средним b. Суммы баллов равны na и mb, поэтому общее среднее (na + mb)/(n + m). Складывать два средних и делить пополам можно только при n = m. Если известны все оценки, сначала найдите их суммы. Если средние округлены, точное общее среднее по ним не всегда восстановить.

Три разобранных примера

1. В одной группе 4 работы со средним 4,5, во второй — 6 со средним 3,5. Общая сумма 4·4,5 + 6·3,5 = 18 + 21 = 39 баллов; работ 10. Итог 3,9.
2. У Алии 3 оценки со средним 4, у Тимура 7 оценок со средним 5. Общее среднее (12 + 35)/10 = 4,7, а не (4 + 5)/2 = 4,5.
3. Всего 12 оценок со средним 4,25. Пять оценок первой группы в сумме дают 20 баллов. Сумма второй группы: 12·4,25 − 20 = 31 балл, её 7 оценок имеют среднее 31/7 ≈ 4,43. Округление приведено только в конце.

Почему «среднее двух средних» может обмануть

Если в одной группе 2 результата со средним 5, а в другой 8 со средним 4, число 4,5 — неверный итог. Оно приписывает обеим группам одинаковый вес. На самом деле первая содержит 10 суммарных баллов, а вторая — 32, и всё вместе даёт 42 балла за 10 работ: 4,2. Это промежуточный контроль: общее среднее ближе к 4, потому что большая группа имеет среднее 4.

Из формулы (na + mb)/(n + m) видно, что числа n и m — количество оценок, а не номера школьных групп и не веса «по желанию». При вычислении обратной задачи сначала находят общую сумму (n + m)·c, затем вычитают известную часть na и делят остаток на m. Обязательно проверьте, что суммы целых школьных отметок получаются целыми числами; если условие подразумевает только целые отметки, невозможное сочетание среднего и числа работ нельзя принимать за реальные данные.

Тренировка: заполните пропуски и объясните действие

К каждому номеру сначала напишите число работ в обеих группах, затем сумму баллов, наконец среднее. Если исходные средние заданы как точные, не округляйте промежуточные результаты.

1. В классе 2 группы: 5 оценок со средним 4 и 5 со средним 3. Найдите общий показатель. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
2. В одной группе 2 оценки со средним 5, в другой 8 со средним 4. Вычислите общее среднее. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
3. Четыре оценки со средним 3,5 и шесть со средним 4,5. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
4. Семь оценок со средним 4 и три со средним 3. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
5. Одна оценка 2 и девять оценок со средним 4. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
6. В 6 работах среднее 3, в 4 работах среднее 5. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
7. В первой группе 8 оценок со средним 4,25, во второй 4 оценки со средним 3,5. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
8. Две группы с одинаковым средним 4, но с 3 и 11 оценками. Каков общий результат? Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
9. Всего 10 оценок со средним 4,2; у первой группы 4 оценки со средним 4. Найдите среднее второй. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
10. Первая группа: 6 оценок со средним 3,5; вторая: 4 оценки со средним неизвестным. Общая средняя 3,9. Найдите неизвестное среднее. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
11. Учитель ошибочно усреднил 5 и 3 как 4, хотя групп 2 и 10 оценок. Исправьте при средних 5 и 3. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
12. Можно ли получить общую среднюю 4,8, если у обеих групп средняя 4,2 и 4,6? Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
13. В двух группах по 10 оценок средние 3,6 и 4,4. Найдите общее среднее. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
14. Первая группа: 4 работы со средним 3,75, вторая: 12 работ со средним 4,25. Найдите итог и поясните, почему среднее не 4. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.
15. У первой группы среднее 3,2 по 5 работам, у второй 4,5 по 8 работам. Найдите сумму и среднее. Всего работ: _____; сумма баллов: _____; ответ: _____.

Прежде чем смотреть в ответы

Отметьте у каждого задания три числа: размер первой группы, размер второй группы, суммарные баллы. Например, для группы из семи работ со средним 4 суммарный результат равен 28 баллам. Для трёх работ со средним 3 результат равен 9 баллам. Совместная средняя 37/10 = 3,7. Если попытаться усреднить 4 и 3 без учёта семи и трёх, получится 3,5 — это число не отвечает условию.

Особенно внимательно относитесь к обратным задачам. В задании 9 по общему среднему сначала находят сумму всех десяти оценок: 10·4,2 = 42. Из неё вычитают сумму четырёх известных оценок: 4·4 = 16. Остаток 26 делят на количество оставшихся работ — шесть. В задании 10 неизвестна средняя второй группы, но порядок действий ровно тот же: восстановить общую сумму, исключить известную часть, поделить на число остальных работ.

В практической ситуации оценка 4,125 означает среднее арифметическое, а не отдельную школьную отметку. Нельзя писать «получена оценка 4,125 в журнале», если в журнале ставят только целые 2, 3, 4, 5. Число корректно характеризует среднее по нескольким целым отметкам. В ответе на вопрос «сколько оценок?» требуется целое неотрицательное число; в ответе «какое среднее?» допустима дробь.

Ключ: по шагам

1. (20 + 15)/10 = 3,5.
2. (10 + 32)/10 = 4,2.
3. (14 + 27)/10 = 4,1.
4. (28 + 9)/10 = 3,7.
5. (2 + 36)/10 = 3,8.
6. (18 + 20)/10 = 3,8.
7. (34 + 14)/12 = 4.
8. (3·4 + 11·4)/14 = 4.
9. Вся сумма 42, первая 16, вторая 26 за 6 оценок; 26/6 = 13/3 ≈ 4,33.
10. 10·3,9 = 39; первая сумма 21; вторая 18; 18/4 = 4,5.
11. (2·5 + 10·3)/12 = 40/12 = 10/3 ≈ 3,33.
12. Нет: взвешенное среднее при положительных размерах групп лежит между 4,2 и 4,6.
13. (36 + 44)/20 = 4; здесь обычное среднее двух средних допустимо, поскольку объёмы равны.
14. Сумма 15 + 51 = 66, всего 16; 66/16 = 4,125. Не 4, потому что во второй группе втрое больше работ.
15. Суммы 16 и 36, общая 52; среднее 52/13 = 4.

Сложный контрольный пример с неизвестным количеством работ

В журнале было 4 работы со средним 3,5 и ещё несколько работ со средним 4,5. Общее среднее получилось 4,1. Сколько работ было во второй группе? Пусть их k. Тогда (4·3,5 + 4,5k)/(4 + k) = 4,1. Раскроем скобки: 14 + 4,5k = 16,4 + 4,1k, значит 0,4k = 2,4 и k = 6. Проверим: (14 + 27)/10 = 4,1. Найдено положительное целое число, поэтому ответ согласуется с числом работ. Если получалось бы, например, 2,5 работы, условие было бы некорректным или усреднения были бы округлены.

Как проверить результат самостоятельно

Итоговое среднее обязано лежать между средними двух групп. При одинаковых средних результат такой же; при увеличении веса группы с более высокой средней итог приближается к её результату. Все вычисленные оценки рассматриваются без единицы измерения или в баллах; нельзя отвечать «проценты» без отдельного перевода.