Задача на изменение площади при увеличении обеих сторон: примеры и объяснения для 8 класса

Здесь проверяется приращение площади прямоугольника, когда увеличиваются обе стороны. Одного сложения процентов или прибавок к площади недостаточно: появляется дополнительный прямоугольник в углу, который учитывают произведением двух прибавок.

Правило и геометрический смысл

При исходных сторонах a и b, добавках p и q (в тех же единицах длины) новая площадь S₁ = (a + p)(b + q). Старая S₀ = ab. Следовательно, ΔS = aq + bp + pq. Члены aq и bp — две новые полосы, pq — угловой прямоугольник. Если обе стороны увеличивают в k раз, площадь возрастает в k² раз; при разных коэффициентах k и m площадь множится на km.

Нельзя путать два типа условий: «прибавили 20 % к длине» означает умножили длину на 1,2; «прибавили 2 см» означает прибавили ровно 2 см. Для площадей пишут см², м² или дм²; разность площадей не может измеряться просто сантиметрами.

Найдите и исправьте шесть ошибок

1. Ошибка 1. Прямоугольник 8 × 5 см, обе стороны увеличили на 2 см. Ученик: «Прибавка S = 8·2 + 5·2 = 26 см²».
2. Ошибка 2. Стороны 10 и 6 м увеличили на 10 % каждую. Ученик: «Площадь выросла на 20 %».
3. Ошибка 3. Стороны 12 и 4 дм увеличили соответственно на 3 и 2 дм. Ученик прибавил обе новые длины к площади: «S₁ = 48 + 3 + 2 = 53».
4. Ошибка 4. Стороны 7 и 9 см увеличили соответственно на 1 и 4 см. Ученик: «ΔS = 7·1 + 9·4 + 4 = 47 см²».
5. Ошибка 5. Квадрат со стороной 5 м увеличили по обеим сторонам на 3 м. Ученик: «Площадь возрастёт в 8/5 раза».
6. Ошибка 6. Обе стороны прямоугольника выросли вдвое. Ученик: «Площадь тоже выросла вдвое».

Самостоятельная серия — найти новую площадь и прирост

В заданиях 7–16 сначала найдите исходную площадь, затем новую и только потом разность. Не записывайте величины без единиц.

1. Стороны 8 и 5 см; первую увеличили на 2 см, вторую — на 3 см. Чему равны S₀, S₁ и ΔS?
2. Стороны 12 и 7 м; первую увеличили на 3 м, вторую — на 1 м. Чему равны S₀, S₁ и ΔS?
3. Стороны 9 и 4 дм; первую увеличили на 1 дм, вторую — на 2 дм. Чему равны S₀, S₁ и ΔS?
4. Стороны 15 и 6 см; первую увеличили на 5 см, вторую — на 4 см. Чему равны S₀, S₁ и ΔS?
5. Стороны 6 и 6 м; первую увеличили на 2 м, вторую — на 2 м. Чему равны S₀, S₁ и ΔS?
6. Стороны 10 и 3 дм; первую увеличили на 4 дм, вторую — на 1 дм. Чему равны S₀, S₁ и ΔS?
7. Стороны 11 и 8 см; первую увеличили на 2 см, вторую — на 5 см. Чему равны S₀, S₁ и ΔS?
8. Стороны 14 и 9 м; первую увеличили на 3 м, вторую — на 2 м. Чему равны S₀, S₁ и ΔS?
9. Стороны 7 и 13 см; первую увеличили на 4 см, вторую — на 1 см. Чему равны S₀, S₁ и ΔS?
10. Стороны 20 и 12 дм; первую увеличили на 5 дм, вторую — на 3 дм. Чему равны S₀, S₁ и ΔS?

Дополнительный вопрос — процент и точность

Задание 17. Размеры участка 20 × 15 м; обе стороны увеличены на 20 %. На сколько процентов и на сколько квадратных метров выросла его площадь? Ответ покажите умножением двух коэффициентов.

Ключ к шести ошибочным решениям

1. 1. Пропущен угол 2·2 = 4 см². Верно ΔS = 26 + 4 = 30 см²; было 40, стало 10·7 = 70 см².
2. 2. Правильно 1,1·1,1 = 1,21, то есть на 21 %. Было 60 м², стало 72,6 м², прибавка 12,6 м².
3. 3. Нельзя складывать дм² и дм. Правильно S₁ = (12 + 3)(4 + 2) = 90 дм², прибавка 42 дм².
4. 4. Прибавки перепутаны с противоположными сторонами: правильная формула a·q + b·p + pq = 7·4 + 9·1 + 1·4 = 41 см². Было 63, стало 8·13 = 104 см².
5. 5. В 8/5 раза увеличилась каждая длина, площадь — в (8/5)² = 64/25 = 2,56 раза. Площадь 25 м² превратилась в 64 м².
6. 6. Правильно S₁ = (2a)(2b) = 4ab, то есть площадь стала в 4 раза больше; прибавка равна 3 исходным площадям.

Ответы к самостоятельной серии

1. 7. S₀ = 40 см²; S₁ = (8+2)·(5+3) = 80 см²; ΔS = 40 см². Контроль: 8·3 + 5·2 + 2·3 = 40 см².
2. 8. S₀ = 84 м²; S₁ = (12+3)·(7+1) = 120 м²; ΔS = 36 м². Контроль: 12·1 + 7·3 + 3·1 = 36 м².
3. 9. S₀ = 36 дм²; S₁ = (9+1)·(4+2) = 60 дм²; ΔS = 24 дм². Контроль: 9·2 + 4·1 + 1·2 = 24 дм².
4. 10. S₀ = 90 см²; S₁ = (15+5)·(6+4) = 200 см²; ΔS = 110 см². Контроль: 15·4 + 6·5 + 5·4 = 110 см².
5. 11. S₀ = 36 м²; S₁ = (6+2)·(6+2) = 64 м²; ΔS = 28 м². Контроль: 6·2 + 6·2 + 2·2 = 28 м².
6. 12. S₀ = 30 дм²; S₁ = (10+4)·(3+1) = 56 дм²; ΔS = 26 дм². Контроль: 10·1 + 3·4 + 4·1 = 26 дм².
7. 13. S₀ = 88 см²; S₁ = (11+2)·(8+5) = 169 см²; ΔS = 81 см². Контроль: 11·5 + 8·2 + 2·5 = 81 см².
8. 14. S₀ = 126 м²; S₁ = (14+3)·(9+2) = 187 м²; ΔS = 61 м². Контроль: 14·2 + 9·3 + 3·2 = 61 м².
9. 15. S₀ = 91 см²; S₁ = (7+4)·(13+1) = 154 см²; ΔS = 63 см². Контроль: 7·1 + 13·4 + 4·1 = 63 см².
10. 16. S₀ = 240 дм²; S₁ = (20+5)·(12+3) = 375 дм²; ΔS = 135 дм². Контроль: 20·3 + 12·5 + 5·3 = 135 дм².
11. 17. Было 20·15 = 300 м²; стало 24·18 = 432 м². Прирост 132 м², или 132/300 = 44 %. Коэффициент 1,2·1,2 = 1,44, не 1,40.

Короткая памятка для самостоятельной проверки

Проверка на разумность: если p и q строго положительны, площадь всегда увеличивается, причём больше чем только на две полосы aq + bp, поскольку добавлен угол pq. При одинаковом увеличении сторон на 10 % прирост составляет 21 %, при 20 % — 44 %, при 50 % — 125 %. Эти значения не следует складывать как два независимых процентных изменения.

Старайтесь не подменять площадь периметром. Периметр при добавках p и q возрастает на 2(p + q) линейных единиц, а площадь — на aq + bp + pq квадратных единиц. Это два разных результата; оба могут быть верны, но отвечают на разные вопросы.