Задачи на изменение объёма при масштабировании всех размеров: задачи и решения для 11 класса
В мастерской изготавливают уменьшенные и увеличенные макеты трёхмерных изделий. Если все размеры тела умножить на положительный коэффициент k, то объём умножится на k³, площадь поверхности — на k². Увеличение длины на 50% не означает увеличение объёма на 50%. Исходные данные ниже — учебная модель, а не паспорт реального оборудования.
Содержание статьи7 разделов
Кейс A — контейнер для деталей
| Показатель | Исходное изделие | Изменённое изделие |
|---|---|---|
| Длина | 20 см | 30 см |
| Ширина | 12 см | 18 см |
| Высота | 8 см | 12 см |
| Коэффициент каждой длины | 1 | 1,5 |
Считайте, что речь о внутреннем геометрическом объёме без стенок. Для перевода в литры используйте равенство 1000 см³ = 1 л.
- Чему равен объём исходного контейнера? Вычисление: ____________________
- Чему равен объём увеличенного контейнера? Вычисление: ____________________
- Во сколько раз увеличился объём? Докажите двумя способами. Вычисление: ____________________
- На сколько кубических сантиметров выросла вместимость? Вычисление: ____________________
- На сколько процентов вырос объём относительно исходного? Вычисление: ____________________
- Сколько литров воды поместится в увеличенный контейнер (без свободного борта)? Вычисление: ____________________
- Какова масса 6,48 л воды при плотности 1 г/см³? Вычисление: ____________________
Кейс Б — уменьшение всех размеров без изменения формы
| Параметр | До | После |
|---|---|---|
| Длина | 50 см | 40 см |
| Ширина | 25 см | 20 см |
| Высота | 10 см | 8 см |
| k | 1 | 0,8 |
- Вычислите исходный объём. Ответ: ____________________
- Вычислите новый объём. Ответ: ____________________
- На сколько процентов уменьшился объём? Ответ: ____________________
- В старом контейнере было 10 л воды. Весь ли объём можно перелить в уменьшенный? Ответ: ____________________
Кейс В — масштабирование цельного макета
| Параметр | Маленький | Большой |
|---|---|---|
| Размеры | 3 × 4 × 5 см | 6 × 8 × 10 см |
| Плотность материала | 2,5 г/см³ | 2,5 г/см³ |
| Масштаб | 1 | 2 |
- Найдите объём маленького и большого макетов. Решение: ____________________
- Найдите массы обоих макетов при одинаковой плотности. Решение: ____________________
- Как изменится площадь поверхности? Проверьте на прямоугольных параллелепипедах. Решение: ____________________
- Если увеличить только длину малого макета с 3 до 6 см, сохранив две другие стороны, можно ли умножать объём на 2³? Решение: ____________________
Проверочные решения ко всем 15 заданиям
| № | Решение с единицами |
|---|---|
| 1 | 20·12·8 = 1920 см³. |
| 2 | 30·18·12 = 6480 см³. |
| 3 | 6480/1920 = 3,375; также 1,5³ = 3,375 раза. |
| 4 | 6480−1920 = 4560 см³. |
| 5 | 4560/1920·100% = 237,5%, а не 50%. |
| 6 | 6480/1000 = 6,48 л. |
| 7 | 6480·1 = 6480 г = 6,48 кг. |
| 8 | 50·25·10 = 12 500 см³ = 12,5 л. |
| 9 | 40·20·8 = 6400 см³ = 6,4 л. |
| 10 | (12 500−6400)/12 500·100% = 48,8%. |
| 11 | Нет: 10−6,4 = 3,6 л не поместится; это модель без потерь жидкости. |
| 12 | 3·4·5 = 60 см³; 6·8·10 = 480 см³. |
| 13 | 60·2,5 = 150 г; 480·2,5 = 1200 г = 1,2 кг. |
| 14 | S₁=2·(3·4+3·5+4·5)=94 см²; S₂=2·(6·8+6·10+8·10)=376 см²; в 4 раза. |
| 15 | Нет, масштабирование неравномерно: V=6·4·5=120 см³, то есть увеличение вдвое. |
Итоговая модель и контроль результата
Масштабирование в трёх измерениях означает изменение длины, ширины и высоты одним и тем же k. Только тогда V₂/V₁ = k³. Процентную прибавку считают по исходному объёму: (V₂−V₁)/V₁ · 100%. Процент уменьшения при k = 0,8 равен не 20%, а 48,8%, так как 0,8³ = 0,512.
Объём и массу не смешивают: при постоянной плотности масса пропорциональна объёму, но имеет единицы г или кг, а не см³. Площадь поверхности масштабируется иначе (k²). Задание 15 показывает границу применимости модели: одновременное увеличение только одного размера нельзя описывать коэффициентом k³.
Самопроверка: 1–7 относятся к контейнеру, 8–11 — к уменьшению, 12–15 — к цельному макету. По 1 баллу за модель и 1 баллу за ответ с единицами; максимум 30 баллов. Проверяйте размерность результата до окончательного вывода.
Почему проценты изменения длины и объёма расходятся
Увеличение каждой стороны на 50% означает коэффициент длины 1,5. Для объёма это произведение трёх множителей 1,5·1,5·1,5 = 3,375. Новый объём составляет 337,5% исходного, а прибавка — 237,5%. Разница между «стал составлять столько-то процентов» и «увеличился на столько-то процентов» принципиальна: во второй формулировке исходные 100% вычитаются.
При уменьшении каждой длины на 20% коэффициент равен 0,8; объём становится 0,512 прежнего, то есть 51,2%. Следовательно, потеря объёма равна 48,8%. Нельзя трижды вычесть по 20% и заключить, что останется 40%: изменение всех трёх измерений перемножается, а не складывается.
Как проверить инженерный смысл расчёта
Для ёмкости с водой сначала вычислите внутренний геометрический объём, а затем переводите его в литры. Для цельного макета сначала определяют объём вещества, затем массу как произведение объёма на плотность. У полого предмета пропорциональность массы кубу масштаба требует дополнительного условия: толщина стенок тоже должна масштабироваться тем же коэффициентом, а материал и геометрия оставаться подобными. В кейсе В макеты заданы сплошными и из одинакового материала, поэтому масса меняется пропорционально кубу.
Сопоставьте задания 13 и 14: площадь всей поверхности изменилась вчетверо, масса — восьмикратно. Это согласуется с квадратом и кубом масштаба. Для крупных изделий такая разница объясняет, почему простое удвоение размеров может резко увеличить потребность в сырье.
Если увеличить только одну сторону, коэффициент куба уже неприменим. В последнем задании длина увеличена вдвое, ширина и высота прежние, поэтому объём стал ровно вдвое больше. В прикладной задаче всегда выпишите, какие именно размеры меняются, прежде чем выбирать модель.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.