Задания по математике для 11 класса: производная сложной функции в простых случаях

Углублённый практикум · 11 класс · 28 заданий. Перед вами последовательный маршрут по простым случаям производной сложной функции. Работайте по ступеням: сначала функции вида (ax + b)n, затем функции со внутренним квадратным многочленом, после них — контрольные задачи на распознавание внутреннего выражения. Смысл цепного правила: производная внешней функции умножается на производную внутренней.

Содержание статьи6 разделов

Маршрут: правило, которое нельзя обрезать

Пусть z = g(x), а f(x) = [g(x)]n. Тогда f′(x) = n[g(x)]n−1·g′(x). Важно дифференцировать не только степень, но и «то, что внутри». Например, [(3x + 1)4]′ = 4(3x + 1)3·3 = 12(3x + 1)3. Самая частая ошибка — оставить множитель 3 за кадром. Если внутренняя функция равна x, её производная действительно 1; это лишь частный случай.

Подсказка доступна после попытки, поэтому сначала подчеркните внутреннее выражение самостоятельно. После вычисления проверьте результат методом двух слоёв: внешняя степень стала меньше на единицу, а производная внутреннего выражения появилась отдельным множителем. Если внутреннее выражение содержит x², эта последняя часть уже зависит от x.

Ступень I — внутренняя функция линейная

Номера 1–10 удобно выполнять устно с короткой письменной записью. Здесь все внутренние производные — постоянные числа; поэтому результат легко привести к виду «коэффициент · степень скобки». После первых трёх примеров проверьте, не забыли ли вы умножить на производную выражения внутри скобок.

  1. Вычислите f′(x), если f(x) = (2·x + 1)4.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 2. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  2. Вычислите f′(x), если f(x) = (3·x − 2)3.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 3. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  3. Вычислите f′(x), если f(x) = (x + 5)6.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 1. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  4. Вычислите f′(x), если f(x) = (4·x − 1)2.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 4. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  5. Вычислите f′(x), если f(x) = (−2·x + 3)5.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна −2. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  6. Вычислите f′(x), если f(x) = (5·x + 2)3.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 5. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  7. Вычислите f′(x), если f(x) = (3·x + 4)4.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 3. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  8. Вычислите f′(x), если f(x) = (−3·x + 1)3.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна −3. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  9. Вычислите f′(x), если f(x) = (2·x − 5)5.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 2. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  10. Вычислите f′(x), если f(x) = (7·x + 1)2.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 7. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

Ступень II — внутренняя функция квадратная

Номера 11–20 требуют внимательности: g′(x) теперь обычно содержит x, поэтому после дифференцирования остаются два множителя. Не обязательно полностью раскрывать высокие степени; фактическая запись произведением часто лучше отражает ход рассуждения и подходит для проверки. Для каждого пункта полезно отдельно вычислить g′ и указать, где именно он появился.

  1. Вычислите f′(x), если f(x) = (x2 + 1)4.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 2·x. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  2. Вычислите f′(x), если f(x) = (2·x2 + 3)3.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 4·x. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  3. Вычислите f′(x), если f(x) = (x2 + 2·x)4.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 2·x + 2. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  4. Вычислите f′(x), если f(x) = (3·x2 − 1)3.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 6·x. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  5. Вычислите f′(x), если f(x) = (x2 − 4·x + 2)2.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 2·x − 4. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  6. Вычислите f′(x), если f(x) = (2·x2 + x + 1)3.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 4·x + 1. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  7. Вычислите f′(x), если f(x) = (−x2 + 2·x + 5)4.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна −2·x + 2. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  8. Вычислите f′(x), если f(x) = (3·x2 + 2·x)3.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 6·x + 2. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  9. Вычислите f′(x), если f(x) = (x2 + 3·x + 4)5.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 2·x + 3. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  10. Вычислите f′(x), если f(x) = (4·x2 − x + 2)2.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 8·x − 1. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

Ступень III — перенести навык в новую запись

Номера 21–28 смешивают линейные и квадратные внутренние выражения. Нельзя определять метод по внешнему виду коэффициентов: сначала выделите внешнюю операцию «возведение в степень». Попробуйте не открывать подсказку хотя бы в пяти номерах. Для ускоренной самопроверки запишите ответ в виде цепочки, даже если его можно красиво раскрыть.

  1. Вычислите f′(x), если f(x) = (5·x − 2)7.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 5. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  2. Вычислите f′(x), если f(x) = (2·x2 − 3·x)4.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 4·x − 3. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  3. Вычислите f′(x), если f(x) = (−3·x + 1)5.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна −3. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  4. Вычислите f′(x), если f(x) = (x2 − x + 3)3.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 2·x − 1. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  5. Вычислите f′(x), если f(x) = (3·x2 + 1)4.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 6·x. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  6. Вычислите f′(x), если f(x) = (6·x + 5)3.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 6. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  7. Вычислите f′(x), если f(x) = (2·x2 + 5·x + 1)2.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна 4·x + 5. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

  8. Вычислите f′(x), если f(x) = (−2·x2 + 7)5.
    Подсказка после попытки

    Внутренняя производная равна −4·x. Сначала примените правило степени ко всей скобке.

Почему работает самопроверка

В школьной программе РФ и Казахстана порядок введения сложной функции может различаться, поэтому при необходимости эту карточку удобно оставить для этапа после освоения основных правил производной. Результат проверяется двумя уровнями: для (ax + b)n ищем коэффициент a·n; для [q(x)]n проверяем появление множителя q′(x). Не переписывайте исходное выражение с прежним показателем степени — он обязан уменьшиться на единицу.

Тип ошибки Что спросить у себя
Записан только множитель n Где производная внутренней функции?
Внешняя степень не изменилась Уменьшен ли показатель на единицу?
Раскрыты огромные скобки без необходимости Можно ли сохранить точный ответ в виде произведения?
Внутри x², а множителя x нет Верно ли вычислено g′(x)?

Развёрнутый ключ к 28 заданиям

  1. f′(x) = 4·(2·x + 1)3·(2).
  2. f′(x) = 3·(3·x − 2)2·(3).
  3. f′(x) = 6·(x + 5)5·(1).
  4. f′(x) = 2·(4·x − 1)1·(4).
  5. f′(x) = 5·(−2·x + 3)4·(−2).
  6. f′(x) = 3·(5·x + 2)2·(5).
  7. f′(x) = 4·(3·x + 4)3·(3).
  8. f′(x) = 3·(−3·x + 1)2·(−3).
  9. f′(x) = 5·(2·x − 5)4·(2).
  10. f′(x) = 2·(7·x + 1)1·(7).
  11. f′(x) = 4·(x2 + 1)3·(2·x).
  12. f′(x) = 3·(2·x2 + 3)2·(4·x).
  13. f′(x) = 4·(x2 + 2·x)3·(2·x + 2).
  14. f′(x) = 3·(3·x2 − 1)2·(6·x).
  15. f′(x) = 2·(x2 − 4·x + 2)1·(2·x − 4).
  16. f′(x) = 3·(2·x2 + x + 1)2·(4·x + 1).
  17. f′(x) = 4·(−x2 + 2·x + 5)3·(−2·x + 2).
  18. f′(x) = 3·(3·x2 + 2·x)2·(6·x + 2).
  19. f′(x) = 5·(x2 + 3·x + 4)4·(2·x + 3).
  20. f′(x) = 2·(4·x2 − x + 2)1·(8·x − 1).
  21. f′(x) = 7·(5·x − 2)6·(5).
  22. f′(x) = 4·(2·x2 − 3·x)3·(4·x − 3).
  23. f′(x) = 5·(−3·x + 1)4·(−3).
  24. f′(x) = 3·(x2 − x + 3)2·(2·x − 1).
  25. f′(x) = 4·(3·x2 + 1)3·(6·x).
  26. f′(x) = 3·(6·x + 5)2·(6).
  27. f′(x) = 2·(2·x2 + 5·x + 1)1·(4·x + 5).
  28. f′(x) = 5·(−2·x2 + 7)4·(−4·x).

Ответы даны в точной факторизованной форме, и дополнительное раскрытие скобок не требуется. Каждая строка проверена дифференцированием соответствующей исходной функции. Учителю удобно оценивать отдельно два действия: внешнюю производную и внутреннюю. Если ошибка только во внутреннем множителе, разберите № 1, 5, 11 и 16 и затем повторите соседние пункты.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым