Задания по математике для 7 класса: степени с одинаковым основанием при умножении

Как организовать проверку разных вариантов

При проверке сначала посмотри на показатель степени, а лишь затем на вычисленное числовое значение. Правильный показатель показывает владение алгебраическим законом; арифметическое значение помогает дополнительно свериться с результатом. Если учитель просил оставить числовой ответ именно в виде степени, не требуй большого числа — запись 7⁴ уже точная и достаточно компактная.

Все три варианта имеют одинаковую проверяемую структуру навыка, но отличаются основаниями и порядком типов заданий: произведения двух степеней, цепочки из трёх множителей и поиск неизвестного показателя. Их можно раздать одновременно, а затем обсудить, почему алгоритм сохраняется при смене чисел и букв. Одна и та же операция здесь не превращается в сложение самих оснований: (a³)(a⁴) — это a⁷, а не 2a⁷.

Три способа убедиться в правильности закона

Способ через определение степени. Запиши для основания a степени a² и a³ как произведения: a · a и a · a · a. После умножения подряд стоят пять одинаковых множителей a. Поэтому a² · a³ = a⁵. Именно это объясняет закон, а не только мнемоническое правило о сложении чисел сверху.

Способ через число. Если взять 2⁴ · 2³, то можно сначала вычислить 16 · 8 = 128. Другой путь — сохранить основание 2, сложить показатели 4 + 3 и получить 2⁷ = 128. Совпадение служит хорошей проверкой для учеников, которым пока трудно представить буквенное произведение.

Способ через неизвестный показатель. Запись a³ · a□ = a⁸ приводит к простому равенству для показателей: 3 + □ = 8. Искомое число — 5. Проверка особенно удобна: подставляем пять вместо клетки и снова складываем 3 + 5. Никаких числовых значений неизвестной буквы a для этого не требуется.

Чтобы различать закон и похожие на него ошибки, сравни a² · a³ и (a²)³. В первом случае мы перемножаем две степени одинакового основания, поэтому показатель 2 + 3 = 5. Во втором случае возводим уже готовую степень в третью степень, поэтому показатель 2 · 3 = 6. Это разные операции и разные результаты, хотя в обеих записях присутствуют одни и те же числа 2 и 3.

Простой ориентир для учителя: при ошибке в примерах с тремя множителями сначала проверь, не забыл ли ученик один показатель. При ошибке с одиночной буквой спроси, сколько раз буква встречается как множитель. При ошибке с числовым значением уточни, правильно ли получена компактная запись степени до вычисления большого числа. Такой разбор помогает точно определить навык, требующий повторения.

Ответы для учителя — три независимых ключа

Ключ к варианту I

1. 2⁷. При перемножении восьми? Нет: три множителя 2 и ещё четыре образуют семь множителей. Правильная компактная запись — 2 в седьмой степени.
2. a⁷. Буквенный показатель равен сумме пяти и двух: две группы одинаковых множителей a соединяются в одну длиной семь.
3. x⁸. Показатели 2 и 6 описывают число одинаковых множителей x; итоговая группа содержит восемь букв x.
4. 3⁵ = 243. Девять умножаем на двадцать семь: 9 · 27 = 243. Это независимо подтверждает вычисление степени с показателем 5.
5. m⁵. Запись m без верхнего индекса означает m в первой степени. Поэтому 4 + 1 = 5, а не 4.
6. 7⁴ = 2401. В первом множителе одна семёрка, во втором три. Четыре семёрки дают 7⁴ = 2401.
7. t⁷. Суммируем все три показателя: 2 + 2 + 3 = 7. Нельзя учитывать только соседнюю пару и терять третий множитель.
8. □ = 6. Заполненная клетка должна удовлетворять 3 + □ = 9. Вычитание 9 − 3 даёт искомый показатель 6.
9. 4⁵ = 1024. Два множителя 4² и 4³ имеют значения 16 и 64. Их произведение 1024 равно 4⁵.

Ключ к варианту II

1. y⁹. Для y всё зависит от числа его повторений: 4 + 5 = 9, поэтому основание y остаётся без изменений.
2. 5⁴ = 625. Степень 5¹ равна 5, степень 5³ равна 125; произведение 625 подтверждает показатель 4.
3. k⁹. При умножении k⁷ на k² получаются ещё два одинаковых множителя k, то есть всего девять.
4. c⁷. У последнего множителя c нет верхнего индекса, следовательно, он добавляет к сумме показателей ровно единицу.
5. 6³ = 216. Сначала сложи два показателя 2 и 1, затем проверь 36 · 6 = 216. Это 6 в третьей степени.
6. z⁹. При умножении степеней z показатели складываются: шесть повторений и ещё три дают девять.
7. □ = 3. Из равенства □ + 5 = 8 получаем 3. Проверь: p³ · p⁵ действительно равно p⁸.
8. 8³ = 512. Второй множитель — просто 8, то есть 8¹. Получается 8³; 64 · 8 = 512.
9. q⁹. В произведении три группы одинаковых множителей q. Сумма показателей 3 + 4 + 2 равна 9.

Ключ к варианту III

1. n⁹. Степень n⁵ содержит пять множителей n, следующая степень добавляет ещё четыре. Итоговый показатель 9.
2. 9³ = 729. Вычисление 81 · 9 = 729 показывает, почему при основании 9 нужен показатель 3.
3. r⁹. Сохраняем именно основание r и складываем 6 + 3. При этом букву не умножаем на числовой показатель.
4. 2⁷ = 128. Для основания 2 число одинаковых множителей равно 4 + 3 = 7. 16 · 8 = 128 — проверка.
5. s⁷. Первая буква s имеет показатель 1; значит, 1 + 4 + 2 = 7. Неявный показатель принципиален.
6. d⁹. К восьми множителям d прибавляется ещё один. Отсюда d в девятой степени.
7. □ = 7. Пропущенный показатель удовлетворяет □ + 4 = 11. Вычитая, получаем семь и проверяем сложением.
8. 10⁵ = 100000. После объединения степеней 10² и 10³ получается 10⁵. Это единица и пять нулей, то есть 100000.
9. u⁹. В конце стоит одиночная буква u, дающая ещё один множитель. Показатели складываются: 5 + 3 + 1 = 9.

Почему ответы устроены именно так

Проверка каждого пункта — сохранение основания и сложение показателей. Например, в варианте I, № 7: 2 + 2 + 3 = 7, поэтому t² · t² · t³ = t⁷; в варианте II, № 7: □ + 5 = 8, откуда □ = 3; в варианте III, № 7: □ + 4 = 11, откуда □ = 7. Когда основание — число, итоговое значение вычислено дополнительно, чтобы проверить арифметику.

Можно оценивать по 9-балльной шкале: один балл за каждое задание, в пунктах с числовым основанием достаточно записи правильной степени, если вычисление её значения отдельно не требовалось. Если ученик ошибся лишь в числовом умножении, попросите перепроверить значение по разложению на множители. Эта шкала примерная и не заменяет школьные критерии.