Задания по математике для 7 класса: угловой коэффициент по двум точкам графика
7 класс · карточки «найди ошибку». Имя ____________________ Дата __________. Здесь под «двумя точками графика» понимаются две точки одной невертикальной прямой. Если x-координаты совпадают, формула для k не применяется: делить на нуль нельзя. Задания ориентированы на изучение линейной функции; если в вашей программе наклон по двум точкам рассматривается позже, преподаватель может использовать первую часть как расширение.
Содержание статьи7 разделов
Как измерить наклон без транспортира
Переход от A(x₁; y₁) к B(x₂; y₂) можно представить как два движения: по горизонтали на Δx = x₂ − x₁ и по вертикали на Δy = y₂ − y₁. Коэффициент k = Δy/Δx. Он положителен, если прямая идёт вверх при движении вправо; отрицателен, если идёт вниз. При делении обязательно соблюдай единый порядок вычитаний: сначала «второе минус первое» в числителе и точно такой же порядок в знаменателе.
| Точка | x | y |
|---|---|---|
| A | −1 | −1 |
| B | 2 | 5 |
| Изменение Δ | 3 | 6 |
Для приведённых точек k = 6/3 = 2. Проверка: при переходе на 3 вправо y увеличивается на 6, то есть на 2 за единицу x. Свободный член можно найти, подставив координаты любой точки в y = kx + b: −1 = 2 · (−1) + b, значит b = 1.
Карточка 1 — проверь чужое решение
В первых шести заданиях значение k уже предложено. Твоя задача — не соглашаться автоматически, а самостоятельно вычислить Δx и Δy, пометить «верно» или «ошибка» и, если нужно, исправить коэффициент. Важно: даже верный ответ требует короткой проверки.
- Ученик вычислил k = 1 по точкам A(−2; −3) и B(2; 5). Проверь его ответ. Проверка: ______________
- Ученик вычислил k = 1 по точкам A(0; 3) и B(4; −1). Проверь его ответ. Проверка: ______________
- Ученик вычислил k = 3 по точкам A(−1; −5) и B(3; 7). Проверь его ответ. Проверка: ______________
- Ученик вычислил k = 2 по точкам A(2; −3) и B(6; −1). Проверь его ответ. Проверка: ______________
- Ученик вычислил k = −2 по точкам A(1; 5) и B(5; −3). Проверь его ответ. Проверка: ______________
- Ученик вычислил k = −3 по точкам A(0; 2) и B(2; −1). Проверь его ответ. Проверка: ______________
Карточка 2 — выбери способ вычисления
В следующих примерах пары координат даны без подсказки. Если дробь неудобна, сократи её; для отрицательной дроби знак минуса обычно записывают перед дробью. Нулевой наклон означает горизонтальную прямую, но его не надо путать с вертикальной, у которой k для y = kx + b не существует.
- Найди k прямой через (−2; 1) и (1; 7). k = ________
- Найди k прямой через (1; −1) и (4; −10). k = ________
- Найди k прямой через (0; −1) и (6; 2). k = ________
- Найди k прямой через (−4; 3) и (0; 1). k = ________
- Найди k прямой через (2; 0) и (4; 8). k = ________
- Найди k прямой через (−3; −2) и (3; 2). k = ________
- Найди k прямой через (0; 3) и (5; 1). k = ________
- Найди k прямой через (1; 3/2) и (3; 9/2). k = ________
Карточка 3 — восстанови всю формулу
Получив k, найди b по любой одной точке. Затем подставь вторую точку в найденную формулу: если оба равенства верны, ошибок в наклоне и свободном члене, скорее всего, нет.
- После вычисления k по точкам (−2; −3) и (4; 9) найди b и запиши уравнение. __________________
- После вычисления k по точкам (0; 2) и (5; −13) найди b и запиши уравнение. __________________
- После вычисления k по точкам (−4; −4) и (2; −1) найди b и запиши уравнение. __________________
- После вычисления k по точкам (1; 4) и (4; −2) найди b и запиши уравнение. __________________
Контрольный вопрос без балла
Что произойдёт, если вычислить (y₁ − y₂)/(x₁ − x₂) вместо (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)? Результат не изменится, потому что оба знака поменяются. Но если поменять порядок только в числителе, знак k окажется ошибочным. Объясни это одним примером соседу по парте.
Ключ с вычислениями и объяснениями
- Ошибка; k = 2. Изменение y равно 8, изменение x равно 4; делим первое на второе.
- Ошибка; k = −1. Изменение y равно −4, изменение x равно 4; делим первое на второе.
- Верно; k = 3. Изменение y равно 12, изменение x равно 4; делим первое на второе.
- Ошибка; k = 1/2. Изменение y равно 2, изменение x равно 4; делим первое на второе.
- Верно; k = −2. Изменение y равно −8, изменение x равно 4; делим первое на второе.
- Ошибка; k = −3/2. Изменение y равно −3, изменение x равно 2; делим первое на второе.
- k = 2. Δy = 6, Δx = 3, поэтому k = Δy/Δx = 2.
- k = −3. Δy = −9, Δx = 3, поэтому k = Δy/Δx = −3.
- k = 1/2. Δy = 3, Δx = 6, поэтому k = Δy/Δx = 1/2.
- k = −1/2. Δy = −2, Δx = 4, поэтому k = Δy/Δx = −1/2.
- k = 4. Δy = 8, Δx = 2, поэтому k = Δy/Δx = 4.
- k = 2/3. Δy = 4, Δx = 6, поэтому k = Δy/Δx = 2/3.
- k = −2/5. Δy = −2, Δx = 5, поэтому k = Δy/Δx = −2/5.
- k = 3/2. Δy = 3, Δx = 2, поэтому k = Δy/Δx = 3/2.
- k = 2, b = 1, y = 2x + 1. b = y − kx: −3 − (2) · (−2) = 1.
- k = −3, b = 2, y = −3x + 2. b = y − kx: 2 − (−3) · (0) = 2.
- k = 1/2, b = −2, y = 1/2x − 2. b = y − kx: −4 − (1/2) · (−4) = −2.
- k = −2, b = 6, y = −2x + 6. b = y − kx: 4 − (−2) · (1) = 6.
Памятка по разбору ошибок
- Если ученик делит Δx на Δy, попросите объяснить словами «на сколько меняется y при увеличении x на одну единицу».
- Если из двух отрицательных разностей получается отрицательный k, повторите правило знаков при делении.
- Если k найден правильно, но свободный член b неверен, проверьте подстановку в равенство y = kx + b по обеим исходным точкам.
- Если в знаменателе нуль, эта карточка не о графике функции y = kx + b: вертикальная прямая x = c не имеет коэффициента k указанного вида.
Оценивание: задания 1–6 — за отметку правильности и вычисление; 7–14 — за формулу Δy/Δx и сокращённый результат; 15–18 — за k, b и проверку второй точкой. Для тренировки можно нарисовать наклонную прямую и выбрать на ней две разные пары точек: полученный k должен быть одинаковым.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.