Задания по математике для 7 класса: умножение двучлена на двучлен
7 класс · Алгебра · Материал для распечатки
Два независимых комплекта заданий на умножение двучленов; ответы и рекомендации по проверке находятся в конце.
Содержание статьи8 разделов
Памятка к самостоятельной работе
Умножение двучлена на двучлен — это четыре произведения: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. После раскрытия скобок следует объединить подобные слагаемые. Например, (2x − 3)(x + 4) = 2x² + 8x − 3x − 12 = 2x² + 5x − 12. Знаки принадлежат слагаемым: −3 умножается и на x, и на 4.
Ниже две самостоятельные серии, каждая рассчитана на отдельный лист или отдельный подход. В серии А отрабатывается аккуратность четырёх произведений, в серии Б — более сложные коэффициенты, две переменные и обратная проверка. Каждая серия содержит 12 задач; учитель может выдать только одну или обе. Ключи размещены после обеих серий и не предназначены для ученика во время работы.
| Первый двучлен | · первый член второго | · второй член второго |
|---|---|---|
| 2x − 3 | 2x² − 3x | 8x − 12 |
Техника самопроверки. В итоговом многочлене должен быть член второй степени, если в обоих двучленах есть переменная первой степени. Свободный член обычно равен произведению свободных членов исходных двучленов. Эти признаки не заменяют вычисление, но помогают быстро заметить потерянные слагаемые.
Как не потерять четвёртый результат: сначала перечисли пары членов (первый–первый, первый–второй, второй–первый, второй–второй) и поставь четыре галочки. Если в одном из множителей коэффициент отрицательный, временно запиши его в скобках, например (−5)·(3x). Двучлен нельзя умножать только на первый член второй скобки.
Если многочлен после упрощения содержит два разных буквенных символа, порядок букв внутри одного произведения несущественен: pq и qp — одинаковые одночлены. Но одночлены p², pq и q² не являются подобными; складывать их коэффициенты нельзя. Эта оговорка особенно полезна для № 9–10 серии А и № 5–6 серии Б.
Перед началом отдельной серии проверь запись обоих множителей: если перепутать 2x − 5 и 2x + 5, вычисления могут быть правильными, но относятся уже к другому условию. Особенно внимательно переписывай скобки в № 8, 11 и 12 обеих серий: отрицательные числа и разные коэффициенты дают наибольшую нагрузку на внимание.
Часть для ученика
Серия А. Первые 12 заданий
Для каждого произведения подпиши четыре промежуточных произведения. Затем собери похожие члены. Обозначь значком ✓ те примеры, где свободный член совпал с произведением свободных членов двух скобок.
- (x + 3)(x + 2) = …
- (a + 4)(a − 1) = …
- (2x + 1)(x + 5) = …
- (3y − 2)(y + 4) = …
- (x − 7)(x − 3) = …
- (2a − 3)(a − 6) = …
- (4m + 1)(m − 2) = …
- (2x − 5)(3x + 1) = …
- (p + q)(p + 2q) = …
- (2u − v)(u + 3v) = …
- (3t + 2)(2t − 3) = …
- (5z − 2)(z + 4) = …
Серия Б. Ещё 12 заданий
Здесь особенно внимательно проверяй пары с минусами и буквами в обоих двучленах. Если ответ кажется неожиданным, попробуй подставить вместо букв 0, 1 или −1: обе стороны равенства должны принять одинаковое значение. Сохраняй одинаковый порядок букв в одинаковых одночленах.
- Выполни умножение: (x − 9)(x + 9).
- Выполни умножение: (3a + 5)(a − 2).
- Выполни умножение: (4x − 3)(2x − 5).
- Выполни умножение: (2b + 7)(3b + 1).
- Выполни умножение: (m + 2n)(3m − n).
- Выполни умножение: (5r − s)(r − 2s).
- Выполни умножение: (6y − 1)(y + 3).
- Выполни умножение: (2x + 3)(2x − 3).
- Выполни умножение: (x + 5)(4x − 7).
- Выполни умножение: (3c − 4d)(2c + d).
- Выполни умножение: (7p + 2)(p − 4).
- Выполни умножение: (2z − 5)(5z − 2).
Что сдавать учителю
Запиши для любых двух заданий серии Б полную цепочку из четырёх произведений. Для остальных достаточно итогового многочлена без скобок. Отдельно подчеркни места, где при сложении двух линейных членов получился нулевой коэффициент: такое сокращение корректно, если вычисления подтверждены.
Ответы и решения — для учителя и самостоятельной проверки
Серия А
- (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6.
- (a + 4)(a − 1) = a² + 3a − 4.
- (2x + 1)(x + 5) = 2x² + 11x + 5.
- (3y − 2)(y + 4) = 3y² + 10y − 8.
- (x − 7)(x − 3) = x² − 10x + 21.
- (2a − 3)(a − 6) = 2a² − 15a + 18.
- (4m + 1)(m − 2) = 4m² − 7m − 2.
- (2x − 5)(3x + 1) = 6x² − 13x − 5.
- (p + q)(p + 2q) = p² + 3pq + 2q².
- (2u − v)(u + 3v) = 2u² + 5uv − 3v².
- (3t + 2)(2t − 3) = 6t² − 5t − 6.
- (5z − 2)(z + 4) = 5z² + 18z − 8.
Серия Б
- (x − 9)(x + 9) = x² − 81.
- (3a + 5)(a − 2) = 3a² − a − 10.
- (4x − 3)(2x − 5) = 8x² − 26x + 15.
- (2b + 7)(3b + 1) = 6b² + 23b + 7.
- (m + 2n)(3m − n) = 3m² + 5mn − 2n².
- (5r − s)(r − 2s) = 5r² − 11rs + 2s².
- (6y − 1)(y + 3) = 6y² + 17y − 3.
- (2x + 3)(2x − 3) = 4x² − 9.
- (x + 5)(4x − 7) = 4x² + 13x − 35.
- (3c − 4d)(2c + d) = 6c² − 5cd − 4d².
- (7p + 2)(p − 4) = 7p² − 26p − 8.
- (2z − 5)(5z − 2) = 10z² − 29z + 10.
Пример подробной проверки № 15: (4x − 3)(2x − 5) = 8x² − 20x − 6x + 15 = 8x² − 26x + 15. При x = 1 оба выражения дают −3. В № 20 результат не содержит линейного члена, потому что −6x и +6x взаимно уничтожаются.
Оценивание. За каждое верное раскрытие скобок 1 балл, за верное приведение подобных слагаемых ещё 1 балл: 24 задания дают до 48 баллов. Если потеряно одно промежуточное произведение, покажи ученику прямоугольную таблицу 2×2; если перепутан знак, предложи проверять произведение каждой пары отдельно. Учителю удобно рассматривать серии раздельно, чтобы не наказывать за ограниченное время.
Для коррекции. Перепиши ошибочный пример сначала как сумму четырёх произведений в скобках, например (−3)·(2x), а затем без скобок. Этот промежуточный шаг особенно полезен, когда два отрицательных числа дают положительный свободный член. После исправления реши похожий пример с другими коэффициентами и сравни свободные члены.
Быстрая независимая самопроверка для одной переменной: возьми x = 0. Тогда произведение двучленов равно произведению свободных членов. Если это число не совпадает со свободным членом найденного многочлена, в решении есть ошибка. Затем возьми x = 1, чтобы сравнить сумму коэффициентов; для выражений с двумя буквами используй, например, p = 1 и q = 2. Совпадение на отдельных значениях ещё не доказывает тождество, поэтому оставь главным контролем четыре произведения.
При разборе учитель может попросить выбрать самый короткий способ записи: таблица 2×2, две строки распределительного свойства или одна строка четырёх произведений. Все способы дают одинаковый результат; оценивать следует математическую правильность и ясность, а не любимый порядок записи. Длинные примеры лучше выполнять с промежуточным шагом.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.