Задания по математике для 8 класса: решение задач о скорости через рациональное уравнение

Математика · 8 класс. Развёрнутый маршрут по задачам на скорость через рациональные уравнения: 22 пункта. Здесь обозначаем неизвестную скорость через x и следим за единицами измерения. Имя: __________________________ Дата: ______________

Читаем таблицу «путь — скорость — время»

Для равномерного движения t = S/v. Если сравниваются поездки по одинаковому маршруту длиной S, то при скоростях x и x + d разница во времени равна S/x − S/(x + d). ОДЗ: x > 0; увеличение скорости d > 0. Знаменатели положительны, поэтому их можно использовать в преобразованиях. Корень уравнения должен описывать реальную скорость, а не только удовлетворять алгебре.

Разобранный пример: на расстоянии 60 км машина увеличила скорость с x до x + 10 км/ч и сэкономила 1 час. Получаем 60/x − 60/(x + 10) = 1. Умножая на x(x + 10), имеем 600 = x² + 10x, или x² + 10x − 600 = 0. Корни 20 и −30, но отрицательная скорость не подходит. Проверка: 60/20 − 60/30 = 3 − 2 = 1 час.

Контроль понимания модели

1. При скорости v км/ч и пути 140 км выразите время поездки в часах. Ответ/ход: ______________________________________

2. Машина едет 90 км со скоростью x + 15, а затем столько же со скоростью x. Запишите, на сколько часов дольше вторая поездка. Ответ/ход: ______________________________________

3. Почему при поиске скорости x из дробного уравнения нужно исключать x = 0? Ответ/ход: ______________________________________

Карточки А: та же дорога, но другая скорость

4. Путь 60 км. После увеличения скорости на 10 км/ч поездка стала короче на 1 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

5. Путь 72 км. После увеличения скорости на 6 км/ч поездка стала короче на 1 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

6. Путь 90 км. После увеличения скорости на 15 км/ч поездка стала короче на 1 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

7. Путь 120 км. После увеличения скорости на 10 км/ч поездка стала короче на 1 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

8. Путь 80 км. После увеличения скорости на 8 км/ч поездка стала короче на 8/7 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

9. Путь 96 км. После увеличения скорости на 8 км/ч поездка стала короче на 1 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

10. Путь 150 км. После увеличения скорости на 10 км/ч поездка стала короче на 5/4 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

11. Путь 108 км. После увеличения скорости на 9 км/ч поездка стала короче на 2 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

12. Путь 144 км. После увеличения скорости на 12 км/ч поездка стала короче на 2 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

13. Путь 240 км. После увеличения скорости на 20 км/ч поездка стала короче на 2 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

14. Путь 180 км. После увеличения скорости на 15 км/ч поездка стала короче на 1 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

15. Путь 84 км. После увеличения скорости на 7 км/ч поездка стала короче на 1 ч. Найдите первоначальную скорость x, составив уравнение. Ответ/ход: ______________________________________

Карточки Б: два разных участка

16. Первый участок 60 км машина ехала со скоростью x км/ч, второй 30 км — на 10 км/ч быстрее. Общее время 4 ч. Найдите x. Ответ/ход: ______________________________________

17. Первый участок 80 км машина ехала со скоростью x км/ч, второй 40 км — на 10 км/ч быстрее. Общее время 16/3 ч. Найдите x. Ответ/ход: ______________________________________

18. Первый участок 90 км машина ехала со скоростью x км/ч, второй 60 км — на 15 км/ч быстрее. Общее время 13/3 ч. Найдите x. Ответ/ход: ______________________________________

19. Первый участок 48 км машина ехала со скоростью x км/ч, второй 72 км — на 12 км/ч быстрее. Общее время 4 ч. Найдите x. Ответ/ход: ______________________________________

20. Первый участок 120 км машина ехала со скоростью x км/ч, второй 60 км — на 20 км/ч быстрее. Общее время 4 ч. Найдите x. Ответ/ход: ______________________________________

21. Первый участок 72 км машина ехала со скоростью x км/ч, второй 108 км — на 9 км/ч быстрее. Общее время 17/3 ч. Найдите x. Ответ/ход: ______________________________________

22. Первый участок 96 км машина ехала со скоростью x км/ч, второй 48 км — на 8 км/ч быстрее. Общее время 8 ч. Найдите x. Ответ/ход: ______________________________________

Важная проверка. Проверяйте не только числовой корень, но и смысл: когда скорость выросла, время на одном и том же пути должно уменьшиться. Никогда не складывайте скорости вместо времён для двух последовательных участков.

Ключ для учителя и самопроверки

Сначала выполните ученическую часть без подсказок. Ниже приведены ответы и короткие обоснования; при печати для школьников распечатывайте страницы документа до раздела с ключом. Не выдавайте ученикам ключ одновременно с карточкой.

1. 140/v ч. — Используем t = S/v, где v > 0.

2. 90/x − 90/(x + 15) ч. — При x > 0 сначала записывают большее время, затем меньшее.

3. При x = 0 делить на x нельзя. — Время S/x не определено, к тому же реальная средняя скорость положительна.

4. 20 км/ч. — 60/x − 60/(x + 10) = 1, x > 0. При x = 20: 3 − 2 = 1 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

5. 18 км/ч. — 72/x − 72/(x + 6) = 1, x > 0. При x = 18: 4 − 3 = 1 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

6. 30 км/ч. — 90/x − 90/(x + 15) = 1, x > 0. При x = 30: 3 − 2 = 1 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

7. 30 км/ч. — 120/x − 120/(x + 10) = 1, x > 0. При x = 30: 4 − 3 = 1 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

8. 20 км/ч. — 80/x − 80/(x + 8) = 8/7, x > 0. При x = 20: 4 − 20/7 = 8/7 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

9. 24 км/ч. — 96/x − 96/(x + 8) = 1, x > 0. При x = 24: 4 − 3 = 1 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

10. 30 км/ч. — 150/x − 150/(x + 10) = 5/4, x > 0. При x = 30: 5 − 15/4 = 5/4 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

11. 18 км/ч. — 108/x − 108/(x + 9) = 2, x > 0. При x = 18: 6 − 4 = 2 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

12. 24 км/ч. — 144/x − 144/(x + 12) = 2, x > 0. При x = 24: 6 − 4 = 2 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

13. 40 км/ч. — 240/x − 240/(x + 20) = 2, x > 0. При x = 40: 6 − 4 = 2 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

14. 45 км/ч. — 180/x − 180/(x + 15) = 1, x > 0. При x = 45: 4 − 3 = 1 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

15. 21 км/ч. — 84/x − 84/(x + 7) = 1, x > 0. При x = 21: 4 − 3 = 1 ч. Второй алгебраический корень отрицательный.

16. 20 км/ч. — 60/x + 30/(x + 10) = 4, x > 0. Проверка: 3 + 1 = 4 ч. Для положительных x сумма времён убывает, поэтому допустимый корень единственный.

17. 20 км/ч. — 80/x + 40/(x + 10) = 16/3, x > 0. Проверка: 4 + 4/3 = 16/3 ч. Для положительных x сумма времён убывает, поэтому допустимый корень единственный.

18. 30 км/ч. — 90/x + 60/(x + 15) = 13/3, x > 0. Проверка: 3 + 4/3 = 13/3 ч. Для положительных x сумма времён убывает, поэтому допустимый корень единственный.

19. 24 км/ч. — 48/x + 72/(x + 12) = 4, x > 0. Проверка: 2 + 2 = 4 ч. Для положительных x сумма времён убывает, поэтому допустимый корень единственный.

20. 40 км/ч. — 120/x + 60/(x + 20) = 4, x > 0. Проверка: 3 + 1 = 4 ч. Для положительных x сумма времён убывает, поэтому допустимый корень единственный.

21. 27 км/ч. — 72/x + 108/(x + 9) = 17/3, x > 0. Проверка: 8/3 + 3 = 17/3 ч. Для положительных x сумма времён убывает, поэтому допустимый корень единственный.

22. 16 км/ч. — 96/x + 48/(x + 8) = 8, x > 0. Проверка: 6 + 2 = 8 ч. Для положительных x сумма времён убывает, поэтому допустимый корень единственный.

Как проверить себя

Составьте для каждого задания короткую таблицу S, v, t. Проверьте, что все величины измеряются в согласованных единицах, x > 0 и подстановка найденной скорости в первоначальное дробное уравнение даёт указанное время. Для 19 числовых задач положительный корень проверяется прямой подстановкой.

Материал рассчитан на 8 класс. В школах России и Казахстана последовательность тем может различаться; учитель выбирает упражнения после изучения соответствующих правил.