Задания по математике для 9 класса: длина дуги окружности по центральному углу

9 класс · 19 заданий · ориентир 30 минут. Длина дуги зависит от радиуса окружности и от того, какую долю полного оборота составляет центральный угол. Здесь углы задаются в градусах. Ответы через π позволяют проверить правильность вычислений без округления.

Мини-шпаргалка перед стартом

Длина всей окружности — 2πR. Если центральный угол α градусов, то нужная доля окружности равна α/360. Поэтому L = 2πR · α/360 = πRα/180. Угол 90° отвечает четверти круга, 180° — полуокружности, 270° — трём четвертям. Величина L измеряется в единицах длины; в её формуле радиус стоит в первой степени.

Этап I. Посчитайте без калькулятора

1. Радиус окружности 6 см, центральный угол 60°. Найдите длину меньшей дуги; ответ оставьте через π.
2. Радиус окружности 9 см, центральный угол 120°. Найдите длину меньшей дуги; ответ оставьте через π.
3. Радиус окружности 12 см, центральный угол 45°. Найдите длину меньшей дуги; ответ оставьте через π.
4. Радиус окружности 7 см, центральный угол 180°. Найдите длину меньшей дуги; ответ оставьте через π.
5. Радиус окружности 5 см, центральный угол 72°. Найдите длину меньшей дуги; ответ оставьте через π.
6. Радиус окружности 15 см, центральный угол 24°. Найдите длину меньшей дуги; ответ оставьте через π.

После каждого ответа проверьте его величину по длине полной окружности. Например, дуга 60° должна составлять ровно одну шестую всего периметра. Если ответ оказался больше полной окружности при угле меньше 360°, это явный сигнал арифметической ошибки.

Этап II. Поверните формулу обратно

7. При радиусе 10 см найдите длину дуги с центральным углом 90°.
8. При радиусе 18 см найдите длину дуги с центральным углом 30°.
9. При радиусе 8 см найдите длину дуги с центральным углом 135°.
10. При радиусе 4 см найдите длину дуги с центральным углом 270°. Это большая дуга.
11. При R = 10 см длина дуги равна 4π см. Найдите соответствующий центральный угол.
12. При R = 6 см длина дуги равна 3π см. Найдите центральный угол.
13. Длина дуги 5π см, центральный угол 60°. Найдите радиус окружности.
14. Длина дуги 8π см, центральный угол 120°. Найдите радиус.

Обратные задачи удобнее решать из равенства L/(2πR)=α/360. Для поиска радиуса умножьте обе части на 180 и разделите на πα. В пункте с углом 270° найдите длину большой дуги: в задачах об окружности «дуга» не обязательно меньше полуокружности, если угол указан явно.

Этап III. Геометрия из жизни

15. На окружности радиуса 6 см сравните дуги по 30° и 90°. Найдите обе длины.
16. Длина всей окружности 24π см. Вычислите длину дуги 150°.
17. Колесо с радиусом 35 см повернулось на 180° без проскальзывания. Какое расстояние проехало колесо вдоль дороги?
18. В парке поворот дорожки образует дугу окружности радиуса 28 м и центрального угла 45°. Вычислите длину этого участка.
19. Арка имеет форму четверти окружности радиуса 4 м. Сколько метров отделочного профиля требуется вдоль дуги?

В условии о колесе «без проскальзывания» важно: только тогда линейный путь за поворот равен длине соответствующей дуги обода. В задаче с аркой профиль идёт вдоль линии, а не покрывает поверхность; поэтому требуется длина, а не площадь сектора. Если нужен приближённый ответ, замените π числом 3,14 только на последнем шаге.

Ещё один способ контролировать вычисления без приближения числа π — сравнивать ответы пропорцией. Для одного и того же радиуса дуги в 120° и 60° относятся как 2:1; для одного и того же угла длины дуг двух окружностей относятся как их радиусы. Этот способ особенно удобен при проверке работ в классе: ученик объясняет ответ словами, учитель сразу видит, понимает ли он смысл центрального угла. В заданиях 11–14 обратное преобразование формулы обязательно сопровождайте единицами: из длины дуги нельзя получить угол в сантиметрах, а из градусной меры невозможно получить радиус без указания исходной длины.

Ключ и разбор для проверки

Отдельная часть для учителя и самостоятельного контроля. Сначала решите задания без подсказок. При распечатке ученикам можно не включать листы с ответами.

Быстрый старт: шесть дуг

1. 2π см. L = 2π · 6 · 60/360 = 2π.
2. 6π см. L = 2π · 9 · 120/360 = 6π.
3. 3π см. L = 2π · 12 · 45/360 = 3π.
4. 7π см. L = 2π · 7 · 180/360 = 7π.
5. 2π см. L = 2π · 5 · 72/360 = 2π.
6. 2π см. L = 2π · 15 · 24/360 = 2π.

Уровень выше: неизвестный радиус или угол

7. 5π см: 2π · 10 · 90/360 = 5π.
8. 3π см: 2π · 18 · 30/360 = 3π.
9. 6π см: 2π · 8 · 135/360 = 6π.
10. 6π см: 2π · 4 · 270/360 = 6π.
11. 72°: α = 180 · 4π/(π · 10) = 72°.
12. 90°: α = 180 · 3π/(π · 6) = 90°.
13. 15 см: R = 180 · 5π/(60π) = 15 см.
14. 12 см: R = 180 · 8π/(120π) = 12 см.

Практический кейс: колесо, тропа и арка

15. π см и 3π см: более длинная дуга втрое больше, потому что углы относятся как 1:3.
16. 10π см: (150/360) · 24π = 10π.
17. 35π см. При повороте на полоборота колесо проходит длину полуокружности πR.
18. 7π м: 2π · 28 · 45/360 = 7π м (около 22 м).
19. 2π м (примерно 6,28 м): четверть от 2π · 4.

Способ самопроверки: пересчитайте каждую дугу двумя способами — через долю α/360 от 2πR и через πRα/180. Оба выражения должны дать тот же коэффициент при π. За правильное выражение и единицы измерения ставьте 1 балл; для заданий 11–14 добавьте 1 балл за преобразование формулы, для 17–19 — за объяснение физического смысла. Всего 26 баллов.