Задания по математике для 9 класса: исправление ошибочного продолжения последовательности

Почему невозможно угадывать продолжение только по нескольким числам

По первым четырём членам можно предложить много формул. В этом рабочем листе к каждой последовательности дано конкретное правило. Именно относительно него нужно проверять записанные школьником пятый и шестой члены. Задача — не придумать другое красивое правило, а найти первую неверную позицию, исправить обе последние записи и коротко обосновать переход.

Работайте в три шага: 1) проговорите правило своими словами; 2) вычислите правильные a₅ и a₆; 3) сравните их с двумя ошибочными значениями. Если первое продолжение неверно, дальнейшее вычисление, опиравшееся на него, тоже необходимо проверить заново.

Ученик ошибся. Проверьте каждое продолжение (1–14)

1. каждый следующий член = предыдущий + 4: 3, 7, 11, 15, 20, 25. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
2. каждый следующий член = предыдущий − 3: 25, 22, 19, 16, 14, 12. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
3. каждый следующий член = предыдущий + 5: -8, -3, 2, 7, 13, 19. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
4. каждый следующий член = предыдущий − 6: 40, 34, 28, 22, 17, 12. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
5. каждый следующий член = предыдущий + 7: 0, 7, 14, 21, 29, 37. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
6. каждый следующий член = предыдущий × 3: 2, 6, 18, 54, 163, 488. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
7. каждый следующий член = предыдущий × 2: 6, 12, 24, 48, 97, 194. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
8. каждый следующий член = предыдущий × 1/2: 48, 24, 12, 6, 4, 7/2. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
9. нечётные позиции растут на 3, чётные меняются на +4: 2, 10, 5, 14, 9, 20. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
10. нечётные позиции растут на 4, чётные меняются на -5: 5, 30, 9, 25, 14, 22. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
11. нечётные позиции растут на 2, чётные меняются на +6: 1, 2, 3, 8, 6, 16. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
12. aₙ = n²: 1, 4, 9, 16, 26, 38. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
13. aₙ = n(n + 1)/2: 1, 3, 6, 10, 16, 23. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.
14. aₙ = (−1)ⁿ⁻¹·n: 1, -2, 3, -4, 6, -4. Укажите две ошибки и восстановите продолжение.

Самопроверка: как распознать сбой

В заданиях 1–5 обе последние записи следует проверить разностями; в 6–8 — отношением соседних членов (если знаменатель отличен от нуля); в 9–11 сравнивают члены через одну позицию; в 12–14 значение задаёт сам номер n. Заметив ошибку в пятом члене, не исправляйте шестой по правилу, подставляя ошибочное пятое значение: продолжайте уже исправленную цепочку.

Ключ для учителя

1. Правильные 5-й и 6-й члены: 19 и 23 (вместо 20 и 25). каждый следующий член = предыдущий + 4.
2. Правильные 5-й и 6-й члены: 13 и 10 (вместо 14 и 12). каждый следующий член = предыдущий − 3.
3. Правильные 5-й и 6-й члены: 12 и 17 (вместо 13 и 19). каждый следующий член = предыдущий + 5.
4. Правильные 5-й и 6-й члены: 16 и 10 (вместо 17 и 12). каждый следующий член = предыдущий − 6.
5. Правильные 5-й и 6-й члены: 28 и 35 (вместо 29 и 37). каждый следующий член = предыдущий + 7.
6. Правильные 5-й и 6-й члены: 162 и 486 (вместо 163 и 488). каждый следующий член = предыдущий × 3.
7. Правильные 5-й и 6-й члены: 96 и 192 (вместо 97 и 194). каждый следующий член = предыдущий × 2.
8. Правильные 5-й и 6-й члены: 3 и 3/2 (вместо 4 и 7/2). каждый следующий член = предыдущий × 1/2.
9. Правильные 5-й и 6-й члены: 8 и 18 (вместо 9 и 20). нечётные позиции растут на 3, чётные меняются на +4.
10. Правильные 5-й и 6-й члены: 13 и 20 (вместо 14 и 22). нечётные позиции растут на 4, чётные меняются на -5.
11. Правильные 5-й и 6-й члены: 5 и 14 (вместо 6 и 16). нечётные позиции растут на 2, чётные меняются на +6.
12. Правильные 5-й и 6-й члены: 25 и 36 (вместо 26 и 38). aₙ = n².
13. Правильные 5-й и 6-й члены: 15 и 21 (вместо 16 и 23). aₙ = n(n + 1)/2.
14. Правильные 5-й и 6-й члены: 5 и -6 (вместо 6 и -4). aₙ = (−1)ⁿ⁻¹·n.

Разбор показательного задания 9: первые четыре члена образуют две цепочки. Нечётные позиции 2, 5, … продолжаются значением 8, а чётные 10, 14, … — значением 18. Нельзя прибавлять ко всем соседним числам одинаковую величину, потому что правил два. В заданиях 12–14 обязательно проговаривайте, почему верное число получается из номера члена, а не только из соседнего значения.

Критерии: один балл за исправленный пятый член, один за исправленный шестой и один за письменное объяснение правила — всего до 42 баллов. Для короткой диагностики можно оценивать по одному баллу за полностью исправленную строку. Если ученик верно нашёл оба числа, но не может показать правило, вернитесь к сравнению изменений на первых четырёх позициях.

В 9 классе такие задания подготавливают к пониманию прогрессий и рекуррентных закономерностей. Важно подчеркнуть принцип математической корректности: без явно сообщённого правила продолжение конечной последовательности не определяется однозначно. В наших условиях правило является частью каждого задания, поэтому ключ единственный.