Задания по математике для 9 класса: сдвиг параболы y=x² вдоль оси Oy

Задания для 9 класса · 19 пунктов. Здесь исследуется только вертикальный перенос базовой параболы y = x². На одной координатной сетке можно показать несколько функций, получающихся изменением свободного слагаемого. Каждая группа задач имеет свой способ проверки: по схеме, по вычислениям или по пересечениям с осями.

Наглядная модель: одна кривая, разные высоты

Представьте, что нарисованную на прозрачном листе параболу y = x² передвигают строго вверх или вниз, не поворачивая. При y = x² + k все точки меняют только ординату на k; абсцисса остаётся прежней. Поэтому вершина переходит из (0; 0) в (0; k), а ось симметрии по-прежнему x = 0. При k > 0 перенос вверх, при k < 0 вниз.

Сравните три строки: разности ординат во всех столбцах одинаковы, но форма кривой не меняется. Это и есть проверяемый смысл прибавления постоянного числа к значению функции. Не считайте знак в скобках: в этих формулах скобок с x нет, поскольку горизонтальный сдвиг не выполняется.

Исследование I. Узнайте сдвиг по записи

1. Для y = x² + 3 назовите направление и величину переноса, координаты вершины и наименьшее значение функции.
2. Для y = x² − 4 назовите направление и величину переноса, координаты вершины и наименьшее значение функции.
3. Для y = x² + 6 назовите направление и величину переноса, координаты вершины и наименьшее значение функции.
4. Для y = x² − 1 назовите направление и величину переноса, координаты вершины и наименьшее значение функции.
5. Для y = x² − 7 назовите направление и величину переноса, координаты вершины и наименьшее значение функции.

Проверяйте минимум не по месту, где парабола пересекает Ox, а по высоте вершины. Вершина при вертикальном сдвиге может находиться и выше, и ниже оси абсцисс; ветви всё равно направлены вверх. Если график находится выше Ox целиком, действительных пересечений с этой осью у него не будет.

Исследование II. Восстановите точки по формуле

6. У функции y = x² + 2 найдите ординату при x = 3. Сравните результат с y = x² в той же абсциссе.
7. У функции y = x² − 2 найдите ординату при x = 1. Сравните результат с y = x² в той же абсциссе.
8. У функции y = x² + 4 найдите ординату при x = -1. Сравните результат с y = x² в той же абсциссе.
9. У функции y = x² − 3 найдите ординату при x = -2. Сравните результат с y = x² в той же абсциссе.
10. У функции y = x² найдите ординату при x = -5. Сравните результат с y = x² в той же абсциссе.

Исследование III. Сколько пересечений с Ox?

11. Исследуйте y = x² − 9: сколько общих точек с осью Ox? Если они есть, назовите их координаты.
12. Исследуйте y = x² − 4: сколько общих точек с осью Ox? Если они есть, назовите их координаты.
13. Исследуйте y = x² : сколько общих точек с осью Ox? Если они есть, назовите их координаты.
14. Исследуйте y = x² + 4: сколько общих точек с осью Ox? Если они есть, назовите их координаты.
15. Исследуйте y = x² − 1: сколько общих точек с осью Ox? Если они есть, назовите их координаты.

Три случая дают разное число пересечений. Если вершина выше оси Ox, вся кривая также выше неё; если вершина лежит на Ox — одно касание; если ниже — две симметричные точки пересечения. Эта логика полезнее заучивания рисунков, поскольку работает для любого k. В заданиях с отрицательным k координаты точек проверяются простым возведением в квадрат.

Самостоятельная проверка: формула по описанию

16. Запишите формулу после вертикального переноса y = x²: вверх на 8. Укажите y при x = 1.
17. Запишите формулу после вертикального переноса y = x²: вниз на 3. Укажите y при x = 1.
18. Запишите формулу после вертикального переноса y = x²: вершина (0; −6). Укажите y при x = 1.
19. Запишите формулу после вертикального переноса y = x²: минимум функции равен 5. Укажите y при x = 1.

Для задания 19 важно понимать ограничение: среди функций вида y = x² + k минимальное значение действительно равно k. Для более общей параболы y = ax² + bx + c с отрицательным a существует максимум, а не минимум; однако это уже отдельный уровень изучения и здесь не нужен.

Как проверить свои выводы без ключа

Первая проверка — одинаковые разности: у точек исходной и новой параболы с одним x ординаты должны различаться на k. Вторая — ось симметрии: симметричные точки (−1; 1 + k) и (1; 1 + k) находятся на равной высоте. Третья — положение вершины (0; k). Если все три признака совпали, график построен согласованно с формулой.

При построении допускается пользоваться одной осью координат для нескольких графиков, но подпишите около каждой вершины соответствующую формулу, иначе легко перепутать кривые. Для распечатки предложите ученику сначала заполнить пустые координатные таблицы, а только после этого начертить параболы: порядок работы позволяет выявить арифметическую ошибку до рисунка.

Ответы и пояснения для проверки

Сначала выполните работу самостоятельно. При печати только для ученика не включайте страницы с ключом. Ниже ответы в той же нумерации.

Исследование I

1. Вверх на 3 ед.; вершина (0; 3); минимум равен 3.
2. Вниз на 4 ед.; вершина (0; -4); минимум равен -4.
3. Вверх на 6 ед.; вершина (0; 6); минимум равен 6.
4. Вниз на 1 ед.; вершина (0; -1); минимум равен -1.
5. Вниз на 7 ед.; вершина (0; -7); минимум равен -7.

Исследование II

6. 3² + (2) = 11; для y = x² было бы 9, разница +2.
7. 1² + (-2) = -1; для y = x² было бы 1, разница -2.
8. -1² + (4) = 5; для y = x² было бы 1, разница +4.
9. -2² + (-3) = 1; для y = x² было бы 4, разница -3.
10. -5² + (0) = 25; для y = x² было бы 25, разница +0.

Исследование III

11. Две: (−3; 0) и (3; 0), поскольку x² = 9.
12. Две: (−2; 0) и (2; 0), поскольку x² = 4.
13. Одна: (0; 0), вершина лежит на Ox.
14. Ни одной: x² = −4 не имеет действительных решений.
15. Две: (−1; 0) и (1; 0), поскольку x² = 1.

Последняя проверка

16. y = x² + 8; при x = 1 ордината равна 9.
17. y = x² − 3; при x = 1 ордината равна -2.
18. y = x² − 6; при x = 1 ордината равна -5.
19. y = x² + 5; при x = 1 ордината равна 6.

Критерий для учителя: за каждый полный пункт — один балл (всего 19). Если в заданиях 11–15 указано правильное число точек, но неверные координаты, возвращайте задачу на самопроверку, а не засчитывайте как полностью решённую. Для восстановления навыка полезны пары: k = −4 и k = +4; x² − 4 пересекает Ox, а x² + 4 — нет.